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Theorem nninfnub 31507
Description: An infinite set of positive integers is unbounded above. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
nninfnub  |-  ( ( A  C_  NN  /\  -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nninfnub
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3753 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  |  B  <  x }  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e. 
{ x  e.  A  |  B  <  x }
)
2 breq2 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  <  x  <->  B  <  y ) )
32elrab 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  B  < 
x }  <->  ( y  e.  A  /\  B  < 
y ) )
43notbii 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  <->  -.  (
y  e.  A  /\  B  <  y ) )
5 imnan 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y )  <->  -.  ( y  e.  A  /\  B  <  y ) )
64, 5bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  <->  ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
76biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  ->  (
y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
87alimi 1654 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A. y ( y  e.  A  ->  -.  B  <  y ) )
9 df-ral 2758 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  <->  A. y
( y  e.  A  ->  -.  B  <  y
) )
108, 9sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A. y  e.  A  -.  B  <  y )
11 ssel2 3436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  NN )
1211nnred 10511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
1312adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
14 nnre 10503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1514ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
16 lenlt 9614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  <_  B  <->  -.  B  <  y ) )
1716biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  < 
y  ->  y  <_  B ) )
1813, 15, 17syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( -.  B  <  y  ->  y  <_  B ) )
1918ralimdva 2811 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  ->  A. y  e.  A  y  <_  B ) )
20 fzfi 12036 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... B )  e. 
Fin
2111nnnn0d 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  C_  NN  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  NN0 )
2221adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  NN0 )
2322adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  y  e.  NN0 )
24 nnnn0 10763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
2524ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  B  e.  NN0 )
26 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  y  <_  B )
2723, 25, 263jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  /\  y  <_  B )  ->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) )
2827ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  ->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) ) )
29 elfz2nn0 11741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  <->  ( y  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0  /\  y  <_  B ) )
3028, 29syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  y  e.  A
)  ->  ( y  <_  B  ->  y  e.  ( 0 ... B
) ) )
3130ralimdva 2811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  B  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) ) )
3231imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) )
33 dfss3 3431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ( 0 ... B )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( 0 ... B
) )
3432, 33sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A  C_  (
0 ... B ) )
35 ssfi 7695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... B
)  e.  Fin  /\  A  C_  ( 0 ... B ) )  ->  A  e.  Fin )
3620, 34, 35sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A. y  e.  A  y  <_  B
)  ->  A  e.  Fin )
3736ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  B  ->  A  e.  Fin ) )
3819, 37syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  e.  A  -.  B  <  y  ->  A  e.  Fin )
)
3910, 38syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A. y  -.  y  e.  { x  e.  A  |  B  <  x }  ->  A  e.  Fin )
)
401, 39syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( { x  e.  A  |  B  <  x }  =  (/)  ->  A  e.  Fin ) )
4140necon3bd 2615 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) ) )
4241imp 427 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\  B  e.  NN )  /\  -.  A  e. 
Fin )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
4342an32s 805 . 2  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
-.  A  e.  Fin )  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  < 
x }  =/=  (/) )
44433impa 1192 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  -.  A  e.  Fin  /\  B  e.  NN )  ->  { x  e.  A  |  B  <  x }  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974   A.wal 1403    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   {crab 2757    C_ wss 3413   (/)c0 3737   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   RRcr 9441   0cc0 9442    < clt 9578    <_ cle 9579   NNcn 10496   NN0cn0 10756   ...cfz 11643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644
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