MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnind Structured version   Unicode version

Theorem nnind 10550
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 10554 for an example of its use. See nn0ind 10953 for induction on nonnegative integers and uzind 10948, uzind4 11135 for induction on an arbitrary upper set of integers. See indstr 11146 for strong induction. See also nnindALT 10551. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
nnind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nnind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nnind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nnind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nnind.5  |-  ps
nnind.6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nnind  |-  ( A  e.  NN  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nnind
StepHypRef Expression
1 1nn 10543 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
2 nnind.5 . . . . . 6  |-  ps
3 nnind.1 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
43elrab 3261 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( 1  e.  NN  /\  ps ) )
51, 2, 4mpbir2an 918 . . . . 5  |-  1  e.  { x  e.  NN  |  ph }
6 elrabi 3258 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  y  e.  NN )
7 peano2nn 10544 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
87a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  ->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
9 nnind.6 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ch  ->  th ) )
108, 9anim12d 563 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  e.  NN  /\ 
ch )  ->  (
( y  +  1 )  e.  NN  /\  th ) ) )
11 nnind.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1211elrab 3261 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( y  e.  NN  /\  ch ) )
13 nnind.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
1413elrab 3261 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( ( y  +  1 )  e.  NN  /\  th ) )
1510, 12, 143imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }
) )
166, 15mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }
)
1716rgen 2824 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ( y  +  1 )  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }
18 peano5nni 10535 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  { x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  ( y  +  1 )  e.  {
x  e.  NN  |  ph } )  ->  NN  C_ 
{ x  e.  NN  |  ph } )
195, 17, 18mp2an 672 . . . 4  |-  NN  C_  { x  e.  NN  |  ph }
2019sseli 3500 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  { x  e.  NN  |  ph } )
21 nnind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2221elrab 3261 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( A  e.  NN  /\  ta ) )
2320, 22sylib 196 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  /\  ta ) )
2423simprd 463 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    C_ wss 3476  (class class class)co 6282   1c1 9489    + caddc 9491   NNcn 10532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-1cn 9546
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-nn 10533
This theorem is referenced by:  nnindALT  10551  nn1m1nn  10552  nnaddcl  10554  nnmulcl  10555  nnge1  10558  nnsub  10570  nneo  10940  peano5uzi  10945  uzindOLD  10951  nn0ind-raph  10957  ser1const  12127  expcllem  12141  expeq0  12160  seqcoll  12474  climcndslem2  13621  sqrt2irr  13839  gcdmultiple  14043  rplpwr  14049  prmind2  14083  prmdvdsexp  14110  eulerthlem2  14167  pcmpt  14266  prmpwdvds  14277  vdwlem10  14363  mulgnnass  15970  imasdsf1olem  20611  ovolunlem1a  21642  ovolicc2lem3  21665  voliunlem1  21695  volsup  21701  dvexp  22091  plyco  22373  dgrcolem1  22404  vieta1  22442  emcllem6  23058  bposlem5  23291  2sqlem10  23377  dchrisum0flb  23423  iuninc  27101  ofldchr  27467  nexple  27645  esumfzf  27715  rrvsum  28033  subfacp1lem6  28269  cvmliftlem10  28379  faclimlem1  28745  incsequz  29844  bfplem1  29921  2nn0ind  30485  expmordi  30487  fmuldfeq  31133  stoweidlem20  31320  wallispilem4  31368  wallispi2lem1  31371  wallispi2lem2  31372  dirkertrigeqlem1  31398
  Copyright terms: Public domain W3C validator