MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnind Structured version   Unicode version

Theorem nnind 10593
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. See nnaddcl 10597 for an example of its use. See nn0ind 10997 for induction on nonnegative integers and uzind 10994, uzind4 11184 for induction on an arbitrary upper set of integers. See indstr 11194 for strong induction. See also nnindALT 10594. This is an alternative for Metamath 100 proof #74. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
nnind.1  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
nnind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
nnind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
nnind.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
nnind.5  |-  ps
nnind.6  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
nnind  |-  ( A  e.  NN  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem nnind
StepHypRef Expression
1 1nn 10586 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
2 nnind.5 . . . . . 6  |-  ps
3 nnind.1 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  ( ph 
<->  ps ) )
43elrab 3206 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( 1  e.  NN  /\  ps ) )
51, 2, 4mpbir2an 921 . . . . 5  |-  1  e.  { x  e.  NN  |  ph }
6 elrabi 3203 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  y  e.  NN )
7 peano2nn 10587 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
87a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  NN  ->  ( y  +  1 )  e.  NN ) )
9 nnind.6 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ch  ->  th ) )
108, 9anim12d 561 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  e.  NN  /\ 
ch )  ->  (
( y  +  1 )  e.  NN  /\  th ) ) )
11 nnind.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
1211elrab 3206 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( y  e.  NN  /\  ch ) )
13 nnind.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
1413elrab 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( ( y  +  1 )  e.  NN  /\  th ) )
1510, 12, 143imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }
) )
166, 15mpcom 34 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ->  ( y  +  1 )  e.  { x  e.  NN  |  ph }
)
1716rgen 2763 . . . . 5  |-  A. y  e.  { x  e.  NN  |  ph }  ( y  +  1 )  e. 
{ x  e.  NN  |  ph }
18 peano5nni 10578 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  { x  e.  NN  |  ph }  /\  A. y  e.  {
x  e.  NN  |  ph }  ( y  +  1 )  e.  {
x  e.  NN  |  ph } )  ->  NN  C_ 
{ x  e.  NN  |  ph } )
195, 17, 18mp2an 670 . . . 4  |-  NN  C_  { x  e.  NN  |  ph }
2019sseli 3437 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  { x  e.  NN  |  ph } )
21 nnind.4 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
2221elrab 3206 . . 3  |-  ( A  e.  { x  e.  NN  |  ph }  <->  ( A  e.  NN  /\  ta ) )
2320, 22sylib 196 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  /\  ta ) )
2423simprd 461 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   {crab 2757    C_ wss 3413  (class class class)co 6277   1c1 9522    + caddc 9524   NNcn 10575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-1cn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-nn 10576
This theorem is referenced by:  nnindALT  10594  nn1m1nn  10595  nnaddcl  10597  nnmulcl  10598  nnge1  10601  nnsub  10614  nneo  10986  peano5uzi  10991  nn0ind-raph  11002  ser1const  12205  expcllem  12219  expeq0  12238  seqcoll  12559  relexpsucnnl  13012  relexpcnv  13015  relexprelg  13018  relexpnndm  13021  relexpaddnn  13031  climcndslem2  13811  sqrt2irr  14189  gcdmultiple  14395  rplpwr  14401  prmind2  14435  prmdvdsexp  14462  eulerthlem2  14519  pcmpt  14618  prmpwdvds  14629  vdwlem10  14715  mulgnnass  16492  imasdsf1olem  21166  ovolunlem1a  22197  ovolicc2lem3  22220  voliunlem1  22250  volsup  22256  dvexp  22646  plyco  22928  dgrcolem1  22960  vieta1  22998  emcllem6  23654  bposlem5  23942  2sqlem10  24028  dchrisum0flb  24074  iuninc  27844  nnindd  28048  ofldchr  28243  nexple  28443  esumfzf  28502  rrvsum  28885  subfacp1lem6  29469  cvmliftlem10  29578  bcprod  29934  faclimlem1  29939  incsequz  31503  bfplem1  31580  2nn0ind  35222  expmordi  35224  relexpxpnnidm  35662  relexpss1d  35664  iunrelexpmin1  35667  relexpmulnn  35668  trclrelexplem  35670  iunrelexpmin2  35671  relexp0a  35675  cotrcltrcl  35684  trclimalb2  35685  cotrclrcl  35701  inductionexd  35958  fmuldfeq  36926  dvnmptconst  37087  stoweidlem20  37151  wallispilem4  37199  wallispi2lem1  37202  wallispi2lem2  37203  dirkertrigeqlem1  37229  iccelpart  37681  nn0sumshdiglem2  38734
  Copyright terms: Public domain W3C validator