MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnge1d Structured version   Unicode version

Theorem nnge1d 10574
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnge1d  |-  ( ph  ->  1  <_  A )

Proof of Theorem nnge1d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnge1 10557 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439   1c1 9482    <_ cle 9618   NNcn 10531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532
This theorem is referenced by:  bernneq3  12276  facwordi  12349  faclbnd  12350  faclbnd3  12352  faclbnd4lem3  12355  facavg  12361  hashge1  12440  seqcoll  12496  wrdind  12693  wrd2ind  12694  eftlub  13926  eflegeo  13938  eirrlem  14019  divdenle  14366  eulerthlem2  14396  infpnlem2  14513  4sqlem11  14557  4sqlem12  14558  2expltfac  14661  cshwshash  14673  fislw  16844  gzrngunitlem  18677  ovoliunlem1  22079  aalioulem2  22895  aalioulem4  22897  aalioulem5  22898  aaliou2b  22903  aaliou3lem2  22905  aaliou3lem8  22907  vmage0  23593  chpge0  23598  vma1  23638  sqff1o  23654  fsumfldivdiaglem  23663  vmalelog  23678  chtublem  23684  fsumvma2  23687  chpchtsum  23692  logfacubnd  23694  perfectlem2  23703  dchrelbas4  23716  bposlem1  23757  bposlem2  23758  bposlem5  23761  lgsdir  23803  lgsdilem2  23804  lgseisenlem1  23822  2sqlem8  23845  chebbnd1lem1  23852  chebbnd1lem2  23853  chebbnd1lem3  23854  dchrisumlem3  23874  dchrisum0flblem1  23891  dchrisum0lem1b  23898  dirith2  23911  selbergb  23932  selberg3lem2  23941  pntrlog2bndlem1  23960  pntrlog2bndlem3  23962  pntrlog2bndlem4  23963  pntrlog2bndlem5  23964  pntrlog2bnd  23967  pntpbnd1a  23968  pntlemj  23986  pntlemk  23989  clwlkfoclwwlk  25047  nexple  28239  plymulx0  28768  lgamgulmlem5  28839  diophin  30945  irrapxlem4  31000  irrapxlem5  31001  pellexlem2  31005  pell14qrgapw  31051  pellfundgt1  31058  ltrmynn0  31125  jm2.27c  31188  jm3.1lem2  31199  fzisoeu  31739  fmuldfeq  31816  stoweidlem3  32024  stoweidlem20  32041  stoweidlem42  32063  stoweidlem51  32072  stoweidlem59  32080  stirlinglem8  32102  fourierdlem11  32139  fourierdlem41  32169  fourierdlem48  32176  fourierdlem79  32207  etransclem23  32279  etransclem28  32284  etransclem35  32291  etransclem38  32294  etransclem44  32300  etransc  32305
  Copyright terms: Public domain W3C validator