MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnge1d Structured version   Unicode version

Theorem nnge1d 10578
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnge1d  |-  ( ph  ->  1  <_  A )

Proof of Theorem nnge1d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnge1 10562 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   1c1 9493    <_ cle 9629   NNcn 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537
This theorem is referenced by:  bernneq3  12262  facwordi  12335  faclbnd  12336  faclbnd3  12338  faclbnd4lem3  12341  facavg  12347  hashge1  12425  seqcoll  12478  eftlub  13705  eflegeo  13717  eirrlem  13798  divdenle  14141  eulerthlem2  14171  infpnlem2  14288  4sqlem11  14332  4sqlem12  14333  2expltfac  14435  cshwshash  14447  fislw  16451  gzrngunitlem  18278  ovoliunlem1  21676  aalioulem2  22491  aalioulem4  22493  aalioulem5  22494  aaliou2b  22499  aaliou3lem2  22501  aaliou3lem8  22503  vmage0  23151  chpge0  23156  vma1  23196  sqff1o  23212  fsumfldivdiaglem  23221  vmalelog  23236  chtublem  23242  fsumvma2  23245  chpchtsum  23250  logfacubnd  23252  perfectlem2  23261  dchrelbas4  23274  bposlem1  23315  bposlem2  23316  bposlem5  23319  lgsdir  23361  lgsdilem2  23362  lgseisenlem1  23380  2sqlem8  23403  chebbnd1lem1  23410  chebbnd1lem2  23411  chebbnd1lem3  23412  dchrisumlem3  23432  dchrisum0flblem1  23449  dchrisum0lem1b  23456  dirith2  23469  selbergb  23490  selberg3lem2  23499  pntrlog2bndlem1  23518  pntrlog2bndlem3  23520  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem5  23522  pntrlog2bnd  23525  pntpbnd1a  23526  pntlemj  23544  pntlemk  23547  clwlkfoclwwlk  24549  lgamgulmlem5  28243  diophin  30338  irrapxlem4  30393  irrapxlem5  30394  pellexlem2  30398  pell14qrgapw  30444  pellfundgt1  30451  ltrmynn0  30518  jm2.27c  30581  jm3.1lem2  30592  fzisoeu  31105  fmuldfeq  31161  sumnnodd  31200  stoweidlem3  31331  stoweidlem20  31348  stoweidlem42  31370  stoweidlem51  31379  stoweidlem59  31387  stirlinglem8  31409  fourierdlem11  31446  fourierdlem41  31476  fourierdlem48  31483  fourierdlem79  31514
  Copyright terms: Public domain W3C validator