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Theorem nnge1 10335
Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnge1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )

Proof of Theorem nnge1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4284 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  1 ) )
2 breq2 4284 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  y ) )
3 breq2 4284 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
4 breq2 4284 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
1  <_  x  <->  1  <_  A ) )
5 1le1 9951 . 2  |-  1  <_  1
6 nnre 10316 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
7 recn 9359 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
87addid1d 9556 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  =  y )
98breq2d 4292 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  1  <_  y ) )
10 0lt1 9849 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
11 0re 9373 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
12 1re 9372 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
13 axltadd 9435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1411, 12, 13mp3an12 1297 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  1  ->  ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) ) )
1510, 14mpi 17 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  <  ( y  +  1 ) )
16 readdcl 9352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( y  +  0 )  e.  RR )
1711, 16mpan2 664 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  0 )  e.  RR )
18 peano2re 9529 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
19 lttr 9438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  < 
( y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1 )  ->  (
y  +  0 )  <  1 ) )
2012, 19mp3an3 1296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +  0 )  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( ( y  +  0 )  <  ( y  +  1 )  /\  (
y  +  1 )  <  1 )  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2117, 18, 20syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( y  +  0 )  <  (
y  +  1 )  /\  ( y  +  1 )  <  1
)  ->  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2215, 21mpand 668 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( y  +  1 )  <  1  -> 
( y  +  0 )  <  1 ) )
2322con3d 133 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  ( y  +  0 )  <  1  ->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
24 lenlt 9440 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  0 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  0 )  <->  -.  ( y  +  0 )  <  1 ) )
2512, 17, 24sylancr 656 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  <->  -.  (
y  +  0 )  <  1 ) )
26 lenlt 9440 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y  +  1 )  e.  RR )  ->  ( 1  <_ 
( y  +  1 )  <->  -.  ( y  +  1 )  <  1 ) )
2712, 18, 26sylancr 656 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  1 )  <->  -.  (
y  +  1 )  <  1 ) )
2823, 25, 273imtr4d 268 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  ( y  +  0 )  -> 
1  <_  ( y  +  1 ) ) )
299, 28sylbird 235 . . 3  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
306, 29syl 16 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  <_  y  ->  1  <_  ( y  +  1 ) ) )
311, 2, 3, 4, 5, 30nnind 10327 1  |-  ( A  e.  NN  ->  1  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    < clt 9405    <_ cle 9406   NNcn 10309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310
This theorem is referenced by:  nngt1ne1  10336  nnle1eq1  10337  nngt0  10338  nnnlt1  10339  nnrecgt0  10346  nnge1d  10351  elnnnn0c  10612  elnnz1  10659  zltp1le  10681  elfz1b  11510  fzo1fzo0n0  11571  fzo0sn0fzo1  11600  nnlesq  11952  digit1  11981  faclbnd  12049  faclbnd3  12051  faclbnd4lem1  12052  faclbnd4lem4  12055  fstwrdne0  12247  swrdn0  12307  swrdtrcfv  12320  swrdccatwrd  12345  divalglem1  13580  isprm3  13754  pockthg  13949  infpn2  13956  dscmet  20006  ovolunlem1a  20820  vitali  20934  plyeq0lem  21562  logtayllem  21988  leibpi  22221  vmalelog  22428  chtublem  22434  logfaclbnd  22445  bposlem1  22507  dchrisum0lem1  22649  logdivbnd  22689  pntlemn  22733  ostth2lem3  22768  nexple  26301  eulerpartlems  26590  eulerpartlemb  26598  ballotlem2  26718  plymulx0  26795  fz0n  27235  nndivlub  28151  fzsplit1nn0  28934  pell1qrgaplem  29056  pellqrex  29062  monotoddzzfi  29125  jm2.23  29187  wallispilem4  29706  wallispilem5  29707  wallispi  29708  wallispi2lem1  29709  stirlinglem5  29716  stirlinglem13  29724  clwwisshclwwlem  30313  clwlkfclwwlk  30360
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