Theorem nnge1 10657

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	|- ( A e. NN -> 1 <_ A )

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4399	. 2 |- ( x = 1 -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ 1 ) )
2		breq2 4399	. 2 |- ( x = y -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ y ) )
3		breq2 4399	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
4		breq2 4399	. 2 |- ( x = A -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ A ) )
5		1le1 10262	. 2 |- 1 <_ 1
6		nnre 10638	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. RR )
7		recn 9647	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> y e. CC )
8	7	addid1d 9851	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) = y )
9	8	breq2d 4407	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> 1 <_ y ) )
10		0lt1 10157	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11		0re 9661	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
12		1re 9660	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
13		axltadd 9725	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
14	11, 12, 13	mp3an12 1380	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
15	10, 14	mpi 20	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) )
16		readdcl 9640	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( y + 0 ) e. RR )
17	11, 16	mpan2 685	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) e. RR )
18		peano2re 9824	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
19		lttr 9728	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
20	12, 19	mp3an3 1379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
21	17, 18, 20	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
22	15, 21	mpand 689	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( ( y + 1 ) < 1 -> ( y + 0 ) < 1 ) )
23	22	con3d 140	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( -. ( y + 0 ) < 1 -> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
24		lenlt 9730	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 0 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
25	12, 17, 24	sylancr 676	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
26		lenlt 9730	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
27	12, 18, 26	sylancr 676	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
28	23, 25, 27	3imtr4d 276	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
29	9, 28	sylbird 243	. . 3 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
30	6, 29	syl 17	. 2 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 10649	1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   e. wcel 1904   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632

This theorem is referenced by:  nngt1ne1  10658  nnle1eq1  10659  nngt0  10660  nnnlt1  10661  nnrecgt0  10669  nnge1d  10674  elnnnn0c  10939  elnnz1  10987  zltp1le  11010  elfz1b  11890  fzo1fzo0n0  11994  elfzom1elp1fzo  12010  fzo0sn0fzo1  12030  addmodlteq  12198  nnlesq  12416  digit1  12444  faclbnd  12513  faclbnd3  12515  faclbnd4lem1  12516  faclbnd4lem4  12519  fstwrdne0  12758  swrdtrcfv  12851  swrdccatwrd  12878  divalglem1  14451  isprm3  14712  coprmgcdb  14733  pockthg  14929  infpn2  14936  chfacfpmmulgsum2  19966  dscmet  21665  ovolunlem1a  22527  vitali  22650  plyeq0lem  23243  logtayllem  23683  leibpi  23947  vmalelog  24212  chtublem  24218  logfaclbnd  24229  bposlem1  24291  dchrisum0lem1  24433  logdivbnd  24473  pntlemn  24517  ostth2lem3  24552  clwwisshclwwlem  25613  clwlkfclwwlk  25651  lmatfvlem  28715  eulerpartlems  29266  eulerpartlemb  29274  ballotlem2  29394  fz0n  30436  nndivlub  31189  fzsplit1nn0  35667  pell1qrgaplem  35790  pellqrex  35797  monotoddzzfi  35861  jm2.23  35922  sumnnodd  37807  dvnmul  37915  wallispilem4  38042  wallispilem5  38043  wallispi  38044  wallispi2lem1  38045  stirlinglem5  38052  stirlinglem13  38060  dirkertrigeqlem1  38072  fouriersw  38207  etransclem24  38235  iccpartigtl  38882  logbpw2m1  40886  blennnelnn  40895  blenpw2m1  40898  dignnld  40922