Theorem nnge1 10449

Description: A positive integer is one or greater. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnge1	|- ( A e. NN -> 1 <_ A )

Proof of Theorem nnge1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4394	. 2 |- ( x = 1 -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ 1 ) )
2		breq2 4394	. 2 |- ( x = y -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ y ) )
3		breq2 4394	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
4		breq2 4394	. 2 |- ( x = A -> ( 1 <_ x <-> 1 <_ A ) )
5		1le1 10065	. 2 |- 1 <_ 1
6		nnre 10430	. . 3 |- ( y e. NN -> y e. RR )
7		recn 9473	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> y e. CC )
8	7	addid1d 9670	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) = y )
9	8	breq2d 4402	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> 1 <_ y ) )
10		0lt1 9963	. . . . . . . 8 |- 0 < 1
11		0re 9487	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
12		1re 9486	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
13		axltadd 9549	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ y e. RR ) -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
14	11, 12, 13	mp3an12 1305	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( 0 < 1 -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) ) )
15	10, 14	mpi 17	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) < ( y + 1 ) )
16		readdcl 9466	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( y + 0 ) e. RR )
17	11, 16	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 0 ) e. RR )
18		peano2re 9643	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
19		lttr 9552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
20	12, 19	mp3an3 1304	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y + 0 ) e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
21	17, 18, 20	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( ( ( y + 0 ) < ( y + 1 ) /\ ( y + 1 ) < 1 ) -> ( y + 0 ) < 1 ) )
22	15, 21	mpand 675	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( ( y + 1 ) < 1 -> ( y + 0 ) < 1 ) )
23	22	con3d 133	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( -. ( y + 0 ) < 1 -> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
24		lenlt 9554	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 0 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
25	12, 17, 24	sylancr 663	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) <-> -. ( y + 0 ) < 1 ) )
26		lenlt 9554	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
27	12, 18, 26	sylancr 663	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 1 ) <-> -. ( y + 1 ) < 1 ) )
28	23, 25, 27	3imtr4d 268	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ ( y + 0 ) -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
29	9, 28	sylbird 235	. . 3 |- ( y e. RR -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
30	6, 29	syl 16	. 2 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y -> 1 <_ ( y + 1 ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 30	nnind 10441	1 |- ( A e. NN -> 1 <_ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1758   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   + caddc 9386   < clt 9519   <_ cle 9520   NNcn 10423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424

This theorem is referenced by:  nngt1ne1  10450  nnle1eq1  10451  nngt0  10452  nnnlt1  10453  nnrecgt0  10460  nnge1d  10465  elnnnn0c  10726  elnnz1  10773  zltp1le  10795  elfz1b  11628  fzo1fzo0n0  11689  fzo0sn0fzo1  11718  nnlesq  12070  digit1  12099  faclbnd  12167  faclbnd3  12169  faclbnd4lem1  12170  faclbnd4lem4  12173  fstwrdne0  12366  swrdn0  12426  swrdtrcfv  12439  swrdccatwrd  12464  divalglem1  13700  isprm3  13874  pockthg  14069  infpn2  14076  dscmet  20281  ovolunlem1a  21095  vitali  21209  plyeq0lem  21794  logtayllem  22220  leibpi  22453  vmalelog  22660  chtublem  22666  logfaclbnd  22677  bposlem1  22739  dchrisum0lem1  22881  logdivbnd  22921  pntlemn  22965  ostth2lem3  23000  nexple  26582  eulerpartlems  26877  eulerpartlemb  26885  ballotlem2  27005  plymulx0  27082  fz0n  27523  nndivlub  28438  fzsplit1nn0  29230  pell1qrgaplem  29352  pellqrex  29358  monotoddzzfi  29421  jm2.23  29483  wallispilem4  30001  wallispilem5  30002  wallispi  30003  wallispi2lem1  30004  stirlinglem5  30011  stirlinglem13  30019  clwwisshclwwlem  30608  clwlkfclwwlk  30655  chfacfpmmulgsum2  31319