Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnfoctbdjlem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nnfoctbdjlem 38409
Description: There exists a mapping from  NN onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdjlem.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
nnfoctbdjlem.g  |-  ( ph  ->  G : A -1-1-onto-> X )
nnfoctbdjlem.dj  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  X  y
)
nnfoctbdjlem.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdjlem  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
) )
Distinct variable groups:    A, n, y    f, F, n    y, F    n, G, y    f, X, n    y, X    ph, n, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    G( f)

Proof of Theorem nnfoctbdjlem
Dummy variables  k  x  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
)  ->  if (
( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  =  (/) )
21adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  (/) )
3 0ex 4528 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
43snid 3988 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  { (/)
}
5 elun2 3593 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  (/)  e.  ( X  u.  { (/) } ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( X  u.  { (/) } )
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (/)  e.  ( X  u.  { (/) } ) )
82, 7eqeltrd 2549 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )
98adantll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )
10 iffalse 3881 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  (
n  -  1 ) ) )
1110adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  (
n  -  1 ) ) )
12 nnfoctbdjlem.g . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : A -1-1-onto-> X )
13 f1of 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : A -1-1-onto-> X  ->  G : A
--> X )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
1514adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  G : A --> X )
16 pm2.46 405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  ->  -.  -.  ( n  -  1 )  e.  A )
17 notnot2 116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A  ->  ( n  -  1 )  e.  A )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  ->  (
n  -  1 )  e.  A )
1918adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  A )
2015, 19ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  X )
2120adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  X )
22 elun1 3592 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  X  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  ( X  u.  {
(/) } ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  ( X  u.  {
(/) } ) )
2411, 23eqeltrd 2549 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )
259, 24pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  e.  ( X  u.  { (/) } ) )
26 nnfoctbdjlem.f . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) ) )
2725, 26fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( X  u.  { (/) } ) )
28 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
29 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> X  ->  G : A -onto-> X )
30 forn 5809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -onto-> X  ->  ran  G  =  X )
3112, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  G  =  X )
3231eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  X  =  ran  G )
3428, 33eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  ran  G )
3514ffnd 5740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
36 fvelrnb 5926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  G  <->  E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y ) )
3837adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y ) )
3934, 38mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y )
40 nnfoctbdjlem.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
4140sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  NN )
42 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
44433adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
4526a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
46 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
1  e.  RR )
47 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  e.  RR )
4841nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR+ )
4947, 48ltaddrp2d 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  <  ( k  +  1 ) )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
1  <  ( k  +  1 ) )
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
5251eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
k  +  1 )  =  n )
5352adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  =  n )
5450, 53breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
1  <  n )
5546, 54gtned 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  n  =/=  1 )
5655neneqd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  -.  n  =  1
)
57 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( n  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
5941nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  CC )
60 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  e.  CC )
6159, 60pncand 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6358, 62eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( n  -  1 )  =  k )
64 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
k  e.  A )
6563, 64eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  A )
6665notnotd 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  -.  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
)
6756, 66jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( -.  n  =  1  /\  -.  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) )
68 ioran 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  <->  ( -.  n  =  1  /\  -.  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )
6967, 68sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) )
7069iffalsed 3883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  (
n  -  1 ) ) )
7163fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 k ) )
7270, 71eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  k
) )
7314ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  k )  e.  X )
7445, 72, 43, 73fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
75743adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
76 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  ( G `  k )  =  y )
7775, 76eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  y )
78 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
7978eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  m
)  =  y  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  y ) )
8079rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  y )  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y )
8144, 77, 80syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y )
82813exp 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  ( ( G `  k )  =  y  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y ) ) )
8382adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
k  e.  A  -> 
( ( G `  k )  =  y  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y ) ) )
8483rexlimdv 2870 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y ) )
8539, 84mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y )
86 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  m )  =  y  ->  ( F `  m )  =  y )
8786eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  m )  =  y  ->  y  =  ( F `  m ) )
8887a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( F `  m
)  =  y  -> 
y  =  ( F `
 m ) ) )
8988reximdva 2858 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) ) )
9085, 89mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
9190adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
92 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )  /\  -.  y  e.  X
)  ->  ph )
93 elunnel1 3566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( X  u.  { (/) } )  /\  -.  y  e.  X )  ->  y  e.  { (/) } )
94 elsni 3985 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( X  u.  { (/) } )  /\  -.  y  e.  X )  ->  y  =  (/) )
9695adantll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )  /\  -.  y  e.  X
)  ->  y  =  (/) )
97 1nn 10642 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
9897a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  1  e.  NN )
9926a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
1001orcs 401 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  (/) )
101100adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  = 
1 )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  (/) )
10297a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
1033a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
10499, 101, 102, 103fvmptd 5969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  (/) )
105104adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( F `  1 )  =  (/) )
106 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  y  =  (/) )
107106eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  (/)  =  y )
108107adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  (/)  =  y )
109105, 108eqtr2d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  ( F `  1 ) )
110 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  ( F `  m )  =  ( F ` 
1 ) )
111110eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
y  =  ( F `
 m )  <->  y  =  ( F `  1 ) ) )
112111rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  y  =  ( F `  1 ) )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
11398, 109, 112syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
11492, 96, 113syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )  /\  -.  y  e.  X
)  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
11591, 114pm2.61dan 808 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/) } ) )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
116115ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X  u.  { (/) } ) E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
11727, 116jca 541 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> ( X  u.  { (/) } )  /\  A. y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) ) )
118 dffo3 6052 . . 3  |-  ( F : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  <-> 
( F : NN --> ( X  u.  { (/) } )  /\  A. y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) ) )
119117, 118sylibr 217 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } ) )
120 orc 392 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
121120adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =  m )  ->  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
122 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  -.  n  =  m )  ->  ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) ) )
123 neqne 2651 . . . . . . 7  |-  ( -.  n  =  m  ->  n  =/=  m )
124123adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  -.  n  =  m )  ->  n  =/=  m )
125 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  n  e.  NN )
1262, 3syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e. 
_V )
12726fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e. 
_V )  ->  ( F `  n )  =  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
128125, 126, 127syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( F `  n )  =  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
129128, 2eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( F `  n )  =  (/) )
130129ineq1d 3624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  ( (/)  i^i  ( F `  m )
) )
131 0in 37452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  ( F `  m
) )  =  (/)
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( (/) 
i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
133130, 132eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
134133adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) )  ->  ( ( F `
 n )  i^i  ( F `  m
) )  =  (/) )
135134ad4ant24 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
13626a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
137 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
n  =  1  <->  m  =  1 ) )
138 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  (
n  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
139138eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  -  1 )  e.  A  <->  ( m  -  1 )  e.  A ) )
140139notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  ( -.  ( n  -  1 )  e.  A  <->  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )
141137, 140orbi12d 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  <->  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) ) )
142 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (/)  =  (/) )
143138fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =  ( G `  ( m  -  1
) ) )
144141, 142, 143ifbieq12d 3899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  if ( ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) ) )
145144adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  /\  n  =  m )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) )  =  if ( ( m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) )
146 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  m  e.  NN )
147 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
)  ->  if (
( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
m  -  1 ) ) )  =  (/) )
1483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
)  ->  (/)  e.  _V )
149147, 148eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
)  ->  if (
( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
m  -  1 ) ) )  e.  _V )
150149adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1
) ) )  e. 
_V )
151136, 145, 146, 150fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( F `  m )  =  if ( ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) ) )
152147adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  (/) )
153151, 152eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( F `  m )  =  (/) )
154153ineq2d 3625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  ( ( F `  n )  i^i  (/) ) )
155 in0 3763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  i^i  (/) )  =  (/)
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  (/) )  =  (/) )
157154, 156eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
158157adantll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )  ->  ( ( F `
 n )  i^i  ( F `  m
) )  =  (/) )
159158ad5ant25 1272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  (
m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
161 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G `
 ( n  - 
1 ) )  e. 
_V
1623, 161ifex 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  e.  _V
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e. 
_V )
164160, 163, 127syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  =  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
165164adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) )  -> 
( F `  n
)  =  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) ) )
16610adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  (
n  -  1 ) ) )
167165, 166eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) )  -> 
( F `  n
)  =  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) )
168167adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  ( n  -  1 ) ) )
1691683adant3 1050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  ( n  -  1 ) ) )
17026a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
171144adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\ 
-.  ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )  /\  n  =  m )  ->  if (
( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  =  if ( ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1
) ) ) )
172 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A )  ->  if ( ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  ( G `  (
m  -  1 ) ) )
173172ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\ 
-.  ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )  /\  n  =  m )  ->  if (
( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
m  -  1 ) ) )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) )
174171, 173eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\ 
-.  ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )  /\  n  =  m )  ->  if (
( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) )
175 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  ->  m  e.  NN )
176 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  e. 
_V
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  -> 
( G `  (
m  -  1 ) )  e.  _V )
178170, 174, 175, 177fvmptd 5969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  -> 
( F `  m
)  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) )
179178adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( F `  m )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) )
1801793adant2 1049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( F `  m )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) )
181169, 180ineq12d 3626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m
) )  =  ( ( G `  (
n  -  1 ) )  i^i  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) ) )
182181ad5ant245 1273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  ( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) )
18318ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  A )
184 pm2.46 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A )  ->  -.  -.  ( m  -  1 )  e.  A )
185184notnotrd 117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A )  ->  (
m  -  1 )  e.  A )
186185adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
m  -  1 )  e.  A )
187 f1of1 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G : A -1-1-onto-> X  ->  G : A -1-1-> X )
18812, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G : A -1-1-> X
)
189 dff14a 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : A -1-1-> X  <->  ( G : A --> X  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
( G `  x
)  =/=  ( G `
 y ) ) ) )
190188, 189sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G : A --> X  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x )  =/=  ( G `  y )
) ) )
191190simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x
)  =/=  ( G `
 y ) ) )
192191adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x
)  =/=  ( G `
 y ) ) )
193192ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `
 x )  =/=  ( G `  y
) ) )
194183, 186, 193jca31 543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( ( n  - 
1 )  e.  A  /\  ( m  -  1 )  e.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x )  =/=  ( G `  y )
) ) )
195 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
196195adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
197196ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  n  e.  CC )
198 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
199198adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
200199ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  m  e.  CC )
201 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  1  e.  CC )
202 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  n  =/=  m )
203197, 200, 201, 202subneintr2d 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  (
n  -  1 )  =/=  ( m  - 
1 ) )
204203ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
n  -  1 )  =/=  ( m  - 
1 ) )
205 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  - 
1 )  ->  (
x  =/=  y  <->  ( n  -  1 )  =/=  y ) )
206 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  - 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  -  1
) ) )
207206neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( G `  x
)  =/=  ( G `
 y )  <->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =/=  ( G `  y )
) )
208205, 207imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( G `  x
)  =/=  ( G `
 y ) )  <-> 
( ( n  - 
1 )  =/=  y  ->  ( G `  (
n  -  1 ) )  =/=  ( G `
 y ) ) ) )
209 neeq2 2706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m  - 
1 )  ->  (
( n  -  1 )  =/=  y  <->  ( n  -  1 )  =/=  ( m  -  1 ) ) )
210 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( m  - 
1 )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( m  -  1
) ) )
211210neeq2d 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m  - 
1 )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =/=  ( G `
 y )  <->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =/=  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) )
212209, 211imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( m  - 
1 )  ->  (
( ( n  - 
1 )  =/=  y  ->  ( G `  (
n  -  1 ) )  =/=  ( G `
 y ) )  <-> 
( ( n  - 
1 )  =/=  (
m  -  1 )  ->  ( G `  ( n  -  1
) )  =/=  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) ) )
213208, 212rspc2va 3148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( n  - 
1 )  e.  A  /\  ( m  -  1 )  e.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x )  =/=  ( G `  y )
) )  ->  (
( n  -  1 )  =/=  ( m  -  1 )  -> 
( G `  (
n  -  1 ) )  =/=  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) ) )
214194, 204, 213sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =/=  ( G `  ( m  -  1
) ) )
215214neneqd 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  -.  ( G `  ( n  -  1 ) )  =  ( G `  ( m  -  1
) ) )
21620ad4ant13 1258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  X )
217 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  (
m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ph )
218185adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  (
m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
m  -  1 )  e.  A )
21914ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  -  1 )  e.  A )  ->  ( G `  ( m  -  1 ) )  e.  X )
220217, 218, 219syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  (
m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( m  -  1 ) )  e.  X )
221220ad4ant14 1259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( m  -  1 ) )  e.  X )
222 nnfoctbdjlem.dj . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  X  y
)
223 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
224223disjor 4380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  y  e.  X  y  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y  =  z  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
225222, 224sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y  =  z  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
226225ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y  =  z  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
227 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  ( n  -  1
) )  ->  (
y  =  z  <->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =  z ) )
228 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  ( n  -  1
) )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  z ) )
229228eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  ( n  -  1
) )  ->  (
( y  i^i  z
)  =  (/)  <->  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
230227, 229orbi12d 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  ( n  -  1
) )  ->  (
( y  =  z  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) 
<->  ( ( G `  ( n  -  1
) )  =  z  \/  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  z )  =  (/) ) ) )
231 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  ( m  -  1
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =  z  <->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) )
232 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  ( m  -  1
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  i^i  z )  =  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  ( G `  (
m  -  1 ) ) ) )
233232eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  ( m  -  1
) )  ->  (
( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  z
)  =  (/)  <->  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  i^i  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  (/) ) )
234231, 233orbi12d 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  ( m  -  1
) )  ->  (
( ( G `  ( n  -  1
) )  =  z  \/  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  z )  =  (/) ) 
<->  ( ( G `  ( n  -  1
) )  =  ( G `  ( m  -  1 ) )  \/  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  ( G `  (
m  -  1 ) ) )  =  (/) ) ) )
235230, 234rspc2va 3148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  ( n  -  1
) )  e.  X  /\  ( G `  (
m  -  1 ) )  e.  X )  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y  =  z  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  \/  ( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  ( G `  ( m  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
236216, 221, 226, 235syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  \/  ( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  ( G `  ( m  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
237236adantllr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  \/  ( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  ( G `  ( m  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
238 orel1 389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  -> 
( ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  =  ( G `  (
m  -  1 ) )  \/  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  i^i  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  (/) )  ->  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  i^i  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  (/) ) )
239215, 237, 238sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  i^i  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) )  =  (/) )
240182, 239eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
241159, 240pm2.61dan 808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
242135, 241pm2.61dan 808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
243 olc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/)  ->  ( n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) ) )
244242, 243syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
245122, 124, 244syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  -.  n  =  m )  ->  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
246121, 245pm2.61dan 808 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( n  =  m  \/  ( ( F `
 n )  i^i  ( F `  m
) )  =  (/) ) )
247246ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. m  e.  NN  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
248 fveq2 5879 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
249248disjor 4380 . . 3  |-  (Disj  n  e.  NN  ( F `  n )  <->  A. n  e.  NN  A. m  e.  NN  ( n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) ) )
250247, 249sylibr 217 . 2  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  NN  ( F `  n )
)
251 nnex 10637 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
252251mptex 6152 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) ) )  e. 
_V
25326, 252eqeltri 2545 . . 3  |-  F  e. 
_V
254 foeq1 5802 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  <-> 
F : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } ) ) )
255 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  n  e.  NN )  ->  f  =  F )
256255fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n
)  =  ( F `
 n ) )
257256disjeq2dv 4371 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `
 n )  <-> Disj  n  e.  NN  ( F `  n ) ) )
258254, 257anbi12d 725 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : NN -onto->
( X  u.  { (/)
} )  /\ Disj  n  e.  NN  ( f `  n ) )  <->  ( F : NN -onto-> ( X  u.  {
(/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( F `  n ) ) ) )
259253, 258spcev 3127 . 2  |-  ( ( F : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( F `  n )
)  ->  E. f
( f : NN -onto->
( X  u.  { (/)
} )  /\ Disj  n  e.  NN  ( f `  n ) ) )
260119, 250, 259syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    - cmin 9880   NNcn 10631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-rp 11326
This theorem is referenced by:  nnfoctbdj  38410
  Copyright terms: Public domain W3C validator