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Theorem nnfoctbdjlem 38293
Description: There exists a mapping from  NN onto any (nonempty) countable set of disjoint sets, such that elements in the range of the map are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nnfoctbdjlem.a  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
nnfoctbdjlem.g  |-  ( ph  ->  G : A -1-1-onto-> X )
nnfoctbdjlem.dj  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  X  y
)
nnfoctbdjlem.f  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
nnfoctbdjlem  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
) )
Distinct variable groups:    A, n, y    f, F, n    y, F    n, G, y    f, X, n    y, X    ph, n, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    G( f)

Proof of Theorem nnfoctbdjlem
Dummy variables  k  x  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 3887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
)  ->  if (
( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  =  (/) )
21adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  (/) )
3 0ex 4535 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
43snid 3996 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  { (/)
}
5 elun2 3602 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  { (/) }  ->  (/)  e.  ( X  u.  { (/) } ) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( X  u.  { (/) } )
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (/)  e.  ( X  u.  { (/) } ) )
82, 7eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )
98adantll 720 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )
10 iffalse 3890 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  (
n  -  1 ) ) )
1110adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  (
n  -  1 ) ) )
12 nnfoctbdjlem.g . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : A -1-1-onto-> X )
13 f1of 5814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : A -1-1-onto-> X  ->  G : A
--> X )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : A --> X )
1514adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  G : A --> X )
16 pm2.46 400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  ->  -.  -.  ( n  -  1 )  e.  A )
17 notnot2 116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A  ->  ( n  -  1 )  e.  A )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  ->  (
n  -  1 )  e.  A )
1918adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  A )
2015, 19ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  X )
2120adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  X )
22 elun1 3601 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  X  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  ( X  u.  {
(/) } ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  ( X  u.  {
(/) } ) )
2411, 23eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )
259, 24pm2.61dan 800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  e.  ( X  u.  { (/) } ) )
26 nnfoctbdjlem.f . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) ) )
2725, 26fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( X  u.  { (/) } ) )
28 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
29 f1ofo 5821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -1-1-onto-> X  ->  G : A -onto-> X )
30 forn 5796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A -onto-> X  ->  ran  G  =  X )
3112, 29, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  G  =  X )
3231eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  =  ran  G
)
3332adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  X  =  ran  G )
3428, 33eleqtrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  ran  G )
3514ffnd 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
36 fvelrnb 5912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  G  <->  E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y ) )
3837adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y ) )
3934, 38mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y )
40 nnfoctbdjlem.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  NN )
4140sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  NN )
42 peano2nn 10621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
44433adant3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
4526a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
46 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
1  e.  RR )
47 1red 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  e.  RR )
4841nnrpd 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  RR+ )
4947, 48ltaddrp2d 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  <  ( k  +  1 ) )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
1  <  ( k  +  1 ) )
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
5251eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
k  +  1 )  =  n )
5352adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  =  n )
5450, 53breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
1  <  n )
5546, 54gtned 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  n  =/=  1 )
5655neneqd 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  -.  n  =  1
)
57 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )
5857adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( n  -  1 )  =  ( ( k  +  1 )  -  1 ) )
5941nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  CC )
60 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  1  e.  CC )
6159, 60pncand 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6261adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( ( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
6358, 62eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( n  -  1 )  =  k )
64 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
k  e.  A )
6563, 64eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  A )
66 notnot 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  -  1 )  e.  A  <->  -.  -.  (
n  -  1 )  e.  A )
6765, 66sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  -.  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
)
6856, 67jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( -.  n  =  1  /\  -.  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) )
69 ioran 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  <->  ( -.  n  =  1  /\  -.  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )
7068, 69sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) )
7170iffalsed 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  (
n  -  1 ) ) )
7263fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  -> 
( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 k ) )
7371, 72eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  A )  /\  n  =  ( k  +  1 ) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  k
) )
7414ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( G `  k )  e.  X )
7545, 73, 43, 74fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
76753adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
77 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  ( G `  k )  =  y )
7876, 77eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  y )
79 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
8079eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  m
)  =  y  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  y ) )
8180rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  y )  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y )
8244, 78, 81syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A  /\  ( G `  k )  =  y )  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y )
83823exp 1207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  ( ( G `  k )  =  y  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y ) ) )
8483adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  (
k  e.  A  -> 
( ( G `  k )  =  y  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y ) ) )
8584rexlimdv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( E. k  e.  A  ( G `  k )  =  y  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y ) )
8639, 85mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y )
87 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  m )  =  y  ->  ( F `  m )  =  y )
8887eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  m )  =  y  ->  y  =  ( F `  m ) )
8988a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  X )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( F `  m
)  =  y  -> 
y  =  ( F `
 m ) ) )
9089reximdva 2862 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  ( E. m  e.  NN  ( F `  m )  =  y  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) ) )
9186, 90mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
9291adantlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )  /\  y  e.  X )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
93 simpll 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )  /\  -.  y  e.  X
)  ->  ph )
94 elunnel1 3575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( X  u.  { (/) } )  /\  -.  y  e.  X )  ->  y  e.  { (/) } )
95 elsni 3993 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
9694, 95syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( X  u.  { (/) } )  /\  -.  y  e.  X )  ->  y  =  (/) )
9796adantll 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )  /\  -.  y  e.  X
)  ->  y  =  (/) )
98 1nn 10620 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
9998a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  1  e.  NN )
10026a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) ) ) )
1011orcs 396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  (/) )
102101adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  = 
1 )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  (/) )
10398a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
1043a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  _V )
105100, 102, 103, 104fvmptd 5954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  (/) )
106105adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  ( F `  1 )  =  (/) )
107 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  y  =  (/) )
108107eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  (/)  =  y )
109108adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  (/)  =  y )
110106, 109eqtr2d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  y  =  ( F `  1 ) )
111 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  1  ->  ( F `  m )  =  ( F ` 
1 ) )
112111eqeq2d 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  1  ->  (
y  =  ( F `
 m )  <->  y  =  ( F `  1 ) ) )
113112rspcev 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  y  =  ( F `  1 ) )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
11499, 110, 113syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  =  (/) )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
11593, 97, 114syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) )  /\  -.  y  e.  X
)  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
11692, 115pm2.61dan 800 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X  u.  { (/) } ) )  ->  E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
117116ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X  u.  { (/) } ) E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) )
11827, 117jca 535 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> ( X  u.  { (/) } )  /\  A. y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) ) )
119 dffo3 6037 . . 3  |-  ( F : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  <-> 
( F : NN --> ( X  u.  { (/) } )  /\  A. y  e.  ( X  u.  { (/)
} ) E. m  e.  NN  y  =  ( F `  m ) ) )
120118, 119sylibr 216 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } ) )
121 orc 387 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
122121adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =  m )  ->  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
123 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  -.  n  =  m )  ->  ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) ) )
124 neqne 37374 . . . . . . 7  |-  ( -.  n  =  m  ->  n  =/=  m )
125124adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  -.  n  =  m )  ->  n  =/=  m )
126 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  n  e.  NN )
1272, 3syl6eqel 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e. 
_V )
12826fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e. 
_V )  ->  ( F `  n )  =  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
129126, 127, 128syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( F `  n )  =  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
130129, 2eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( F `  n )  =  (/) )
131130ineq1d 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  ( (/)  i^i  ( F `  m )
) )
132 0in 37393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  ( F `  m
) )  =  (/)
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( (/) 
i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
134131, 133eqtrd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
135134adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) )  ->  ( ( F `
 n )  i^i  ( F `  m
) )  =  (/) )
136135ad4ant24 1240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
13726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
138 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
n  =  1  <->  m  =  1 ) )
139 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  (
n  -  1 )  =  ( m  - 
1 ) )
140139eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  -  1 )  e.  A  <->  ( m  -  1 )  e.  A ) )
141140notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  ( -.  ( n  -  1 )  e.  A  <->  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )
142138, 141orbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A )  <->  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) ) )
143 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (/)  =  (/) )
144139fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =  ( G `  ( m  -  1
) ) )
145142, 143, 144ifbieq12d 3908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  if ( ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) ) )
146145adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  /\  n  =  m )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) )  =  if ( ( m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) )
147 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  m  e.  NN )
148 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
)  ->  if (
( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
m  -  1 ) ) )  =  (/) )
1493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
)  ->  (/)  e.  _V )
150148, 149eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
)  ->  if (
( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
m  -  1 ) ) )  e.  _V )
151150adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1
) ) )  e. 
_V )
152137, 146, 147, 151fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( F `  m )  =  if ( ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) ) )
153148adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  if ( ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  (/) )
154152, 153eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( F `  m )  =  (/) )
155154ineq2d 3634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  ( ( F `  n )  i^i  (/) ) )
156 in0 3760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  i^i  (/) )  =  (/)
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  (/) )  =  (/) )
158155, 157eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
159158adantll 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )  ->  ( ( F `
 n )  i^i  ( F `  m
) )  =  (/) )
160159ad5ant25 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  (
m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
161 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
162 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G `
 ( n  - 
1 ) )  e. 
_V
1633, 162ifex 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  e.  _V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  e. 
_V )
165161, 164, 128syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  =  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) ) )
166165adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) )  -> 
( F `  n
)  =  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) ) )
16710adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) )  ->  if ( ( n  =  1  \/  -.  (
n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1
) ) )  =  ( G `  (
n  -  1 ) ) )
168166, 167eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) )  -> 
( F `  n
)  =  ( G `
 ( n  - 
1 ) ) )
169168adantlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  ( n  -  1 ) ) )
1701693adant3 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( F `  n )  =  ( G `  ( n  -  1 ) ) )
17126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) ,  (/) ,  ( G `  ( n  -  1 ) ) ) ) )
172145adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\ 
-.  ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )  /\  n  =  m )  ->  if (
( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  =  if ( ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1
) ) ) )
173 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A )  ->  if ( ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  ( G `  (
m  -  1 ) ) )
174173ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\ 
-.  ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )  /\  n  =  m )  ->  if (
( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
m  -  1 ) ) )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) )
175172, 174eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  NN  /\ 
-.  ( m  =  1  \/  -.  (
m  -  1 )  e.  A ) )  /\  n  =  m )  ->  if (
( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) )
176 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  ->  m  e.  NN )
177 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  e. 
_V
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  NN  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  -> 
( G `  (
m  -  1 ) )  e.  _V )
179171, 175, 176, 178fvmptd 5954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  NN  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A ) )  -> 
( F `  m
)  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) )
180179adantll 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( F `  m )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) )
1811803adant2 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( F `  m )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) )
182170, 181ineq12d 3635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1
)  e.  A )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1
)  e.  A ) )  ->  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m
) )  =  ( ( G `  (
n  -  1 ) )  i^i  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) ) )
183182ad5ant245 1249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  ( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) )
18418ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
n  -  1 )  e.  A )
185 pm2.46 400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A )  ->  -.  -.  ( m  -  1 )  e.  A )
186185notnotrd 117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  -  1 )  e.  A )  ->  (
m  -  1 )  e.  A )
187186adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
m  -  1 )  e.  A )
188 f1of1 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G : A -1-1-onto-> X  ->  G : A -1-1-> X )
18912, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G : A -1-1-> X
)
190 dff14a 6170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G : A -1-1-> X  <->  ( G : A --> X  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
( G `  x
)  =/=  ( G `
 y ) ) ) )
191189, 190sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( G : A --> X  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x )  =/=  ( G `  y )
) ) )
192191simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x
)  =/=  ( G `
 y ) ) )
193192adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x
)  =/=  ( G `
 y ) ) )
194193ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `
 x )  =/=  ( G `  y
) ) )
195184, 187, 194jca31 537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( ( n  - 
1 )  e.  A  /\  ( m  -  1 )  e.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x )  =/=  ( G `  y )
) ) )
196 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
197196adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
198197ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  n  e.  CC )
199 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
200199adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
201200ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  m  e.  CC )
202 1cnd 9659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  1  e.  CC )
203 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  n  =/=  m )
204198, 201, 202, 203subneintr2d 10032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  (
n  -  1 )  =/=  ( m  - 
1 ) )
205204ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
n  -  1 )  =/=  ( m  - 
1 ) )
206 neeq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  - 
1 )  ->  (
x  =/=  y  <->  ( n  -  1 )  =/=  y ) )
207 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( n  - 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  -  1
) ) )
208207neeq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( G `  x
)  =/=  ( G `
 y )  <->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =/=  ( G `  y )
) )
209206, 208imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( n  - 
1 )  ->  (
( x  =/=  y  ->  ( G `  x
)  =/=  ( G `
 y ) )  <-> 
( ( n  - 
1 )  =/=  y  ->  ( G `  (
n  -  1 ) )  =/=  ( G `
 y ) ) ) )
210 neeq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m  - 
1 )  ->  (
( n  -  1 )  =/=  y  <->  ( n  -  1 )  =/=  ( m  -  1 ) ) )
211 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( m  - 
1 )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  ( m  -  1
) ) )
212211neeq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( m  - 
1 )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =/=  ( G `
 y )  <->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =/=  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) )
213210, 212imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( m  - 
1 )  ->  (
( ( n  - 
1 )  =/=  y  ->  ( G `  (
n  -  1 ) )  =/=  ( G `
 y ) )  <-> 
( ( n  - 
1 )  =/=  (
m  -  1 )  ->  ( G `  ( n  -  1
) )  =/=  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) ) )
214209, 213rspc2va 3160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( n  - 
1 )  e.  A  /\  ( m  -  1 )  e.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  ( G `  x )  =/=  ( G `  y )
) )  ->  (
( n  -  1 )  =/=  ( m  -  1 )  -> 
( G `  (
n  -  1 ) )  =/=  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) ) )
215195, 205, 214sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =/=  ( G `  ( m  -  1
) ) )
216215neneqd 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  -.  ( G `  ( n  -  1 ) )  =  ( G `  ( m  -  1
) ) )
21720ad4ant13 1234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( n  -  1 ) )  e.  X )
218 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  (
m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ph )
219186adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  (
m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
m  -  1 )  e.  A )
22014ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  -  1 )  e.  A )  ->  ( G `  ( m  -  1 ) )  e.  X )
221218, 219, 220syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  (
m  =  1  \/ 
-.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( m  -  1 ) )  e.  X )
222221ad4ant14 1235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  ( G `  ( m  -  1 ) )  e.  X )
223 nnfoctbdjlem.dj . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  X  y
)
224 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
225224disjor 4387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  y  e.  X  y  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y  =  z  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
226223, 225sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y  =  z  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
227226ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y  =  z  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
228 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  ( n  -  1
) )  ->  (
y  =  z  <->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =  z ) )
229 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( G `  ( n  -  1
) )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  z ) )
230229eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( G `  ( n  -  1
) )  ->  (
( y  i^i  z
)  =  (/)  <->  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  i^i  z )  =  (/) ) )
231228, 230orbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  ( n  -  1
) )  ->  (
( y  =  z  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) 
<->  ( ( G `  ( n  -  1
) )  =  z  \/  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  z )  =  (/) ) ) )
232 eqeq2 2462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  ( m  -  1
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =  z  <->  ( G `  ( n  -  1 ) )  =  ( G `  ( m  -  1 ) ) ) )
233 ineq2 3628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( G `  ( m  -  1
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  i^i  z )  =  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  ( G `  (
m  -  1 ) ) ) )
234233eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( G `  ( m  -  1
) )  ->  (
( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  z
)  =  (/)  <->  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  i^i  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  (/) ) )
235232, 234orbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( G `  ( m  -  1
) )  ->  (
( ( G `  ( n  -  1
) )  =  z  \/  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  z )  =  (/) ) 
<->  ( ( G `  ( n  -  1
) )  =  ( G `  ( m  -  1 ) )  \/  ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  i^i  ( G `  (
m  -  1 ) ) )  =  (/) ) ) )
236231, 235rspc2va 3160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G `  ( n  -  1
) )  e.  X  /\  ( G `  (
m  -  1 ) )  e.  X )  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( y  =  z  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  \/  ( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  ( G `  ( m  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
237217, 222, 227, 236syl21anc 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  -.  (
n  =  1  \/ 
-.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  \/  ( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  ( G `  ( m  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
238237adantllr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  \/  ( ( G `  ( n  -  1
) )  i^i  ( G `  ( m  -  1 ) ) )  =  (/) ) )
239 orel1 384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( G `  (
n  -  1 ) )  =  ( G `
 ( m  - 
1 ) )  -> 
( ( ( G `
 ( n  - 
1 ) )  =  ( G `  (
m  -  1 ) )  \/  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  i^i  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  (/) )  ->  ( ( G `  ( n  -  1 ) )  i^i  ( G `  ( m  -  1
) ) )  =  (/) ) )
240216, 238, 239sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( G `  (
n  -  1 ) )  i^i  ( G `
 ( m  - 
1 ) ) )  =  (/) )
241183, 240eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  /\  -.  ( m  =  1  \/  -.  ( m  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
242160, 241pm2.61dan 800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  /\  n  =/=  m )  /\  -.  ( n  =  1  \/  -.  ( n  - 
1 )  e.  A
) )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
243136, 242pm2.61dan 800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  (
( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) )
244 olc 386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  n
)  i^i  ( F `  m ) )  =  (/)  ->  ( n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) ) )
245243, 244syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  n  =/=  m )  ->  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
246123, 125, 245syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  m  e.  NN )
)  /\  -.  n  =  m )  ->  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
247122, 246pm2.61dan 800 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( n  =  m  \/  ( ( F `
 n )  i^i  ( F `  m
) )  =  (/) ) )
248247ralrimivva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A. m  e.  NN  (
n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m )
)  =  (/) ) )
249 fveq2 5865 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
250249disjor 4387 . . 3  |-  (Disj  n  e.  NN  ( F `  n )  <->  A. n  e.  NN  A. m  e.  NN  ( n  =  m  \/  ( ( F `  n )  i^i  ( F `  m ) )  =  (/) ) )
251248, 250sylibr 216 . 2  |-  ( ph  -> Disj  n  e.  NN  ( F `  n )
)
252 nnex 10615 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
253252mptex 6136 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  =  1  \/  -.  ( n  -  1 )  e.  A ) ,  (/) ,  ( G `  (
n  -  1 ) ) ) )  e. 
_V
25426, 253eqeltri 2525 . . 3  |-  F  e. 
_V
255 foeq1 5789 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  <-> 
F : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } ) ) )
256 simpl 459 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  n  e.  NN )  ->  f  =  F )
257256fveq1d 5867 . . . . 5  |-  ( ( f  =  F  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `  n
)  =  ( F `
 n ) )
258257disjeq2dv 4378 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `
 n )  <-> Disj  n  e.  NN  ( F `  n ) ) )
259255, 258anbi12d 717 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : NN -onto->
( X  u.  { (/)
} )  /\ Disj  n  e.  NN  ( f `  n ) )  <->  ( F : NN -onto-> ( X  u.  {
(/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( F `  n ) ) ) )
260254, 259spcev 3141 . 2  |-  ( ( F : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  ( F `  n )
)  ->  E. f
( f : NN -onto->
( X  u.  { (/)
} )  /\ Disj  n  e.  NN  ( f `  n ) ) )
261120, 251, 260syl2anc 667 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN -onto-> ( X  u.  { (/) } )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   {csn 3968  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    - cmin 9860   NNcn 10609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-rp 11303
This theorem is referenced by:  nnfoctbdj  38294
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