MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnfi Structured version   Unicode version

Theorem nnfi 7508
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnfi  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem nnfi
StepHypRef Expression
1 onfin2 7507 . . 3  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
2 inss2 3576 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
31, 2eqsstri 3391 . 2  |-  om  C_  Fin
43sseli 3357 1  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    i^i cin 3332   Oncon0 4724   omcom 6481   Fincfn 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319
This theorem is referenced by:  cardnn  8138  en2eqpr  8179  en2eleq  8180  infxpenlem  8185  dfac12k  8321  pwsdompw  8378  ackbij2lem1  8393  ackbij1lem3  8396  ackbij1lem5  8398  ackbij1lem14  8407  ackbij1b  8413  fin23lem23  8500  fin23lem22  8501  domtriomlem  8616  gchcda1  8828  gch2  8847  omina  8863  hashgval2  12146  hashdom  12147  hashp1i  12166  hash1snb  12176  euhash1  12177  hash2pr  12183  pr2pwpr  12188  xpsfrnel  14506  symggen  15981  psgnunilem1  16004  lt6abl  16376  znfld  17998  frgpcyg  18011  xpsmet  19962  xpsxms  20114  xpsms  20115  isppw  22457  harinf  29388  frlmpwfi  29458  hash3tr  30239
  Copyright terms: Public domain W3C validator