MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnfi Structured version   Unicode version

Theorem nnfi 7710
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnfi  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem nnfi
StepHypRef Expression
1 onfin2 7709 . . 3  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
2 inss2 3719 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
31, 2eqsstri 3534 . 2  |-  om  C_  Fin
43sseli 3500 1  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    i^i cin 3475   Oncon0 4878   omcom 6684   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  cardnn  8344  en2eqpr  8385  en2eleq  8386  infxpenlem  8391  dfac12k  8527  pwsdompw  8584  ackbij2lem1  8599  ackbij1lem3  8602  ackbij1lem5  8604  ackbij1lem14  8613  ackbij1b  8619  fin23lem23  8706  fin23lem22  8707  domtriomlem  8822  gchcda1  9034  gch2  9053  omina  9069  hashgval2  12414  hashdom  12415  hashp1i  12434  hash1snb  12444  euhash1  12445  hash2pr  12481  pr2pwpr  12486  hash3tr  12495  xpsfrnel  14818  symggen  16301  psgnunilem1  16324  lt6abl  16700  znfld  18394  frgpcyg  18407  xpsmet  20648  xpsxms  20800  xpsms  20801  isppw  23144  harinf  30608  frlmpwfi  30678
  Copyright terms: Public domain W3C validator