MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnfi Structured version   Unicode version

Theorem nnfi 7762
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnfi  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )

Proof of Theorem nnfi
StepHypRef Expression
1 onfin2 7761 . . 3  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
2 inss2 3680 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
31, 2eqsstri 3491 . 2  |-  om  C_  Fin
43sseli 3457 1  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1867    i^i cin 3432   Oncon0 5433   omcom 6697   Fincfn 7568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-om 6698  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572
This theorem is referenced by:  cardnn  8387  en2eqpr  8428  en2eleq  8429  infxpenlem  8434  dfac12k  8566  pwsdompw  8623  ackbij2lem1  8638  ackbij1lem3  8641  ackbij1lem5  8643  ackbij1lem14  8652  ackbij1b  8658  fin23lem23  8745  fin23lem22  8746  domtriomlem  8861  gchcda1  9070  gch2  9089  omina  9105  hashgval2  12543  hashdom  12544  hashp1i  12566  hash1snb  12577  hash2pr  12613  pr2pwpr  12618  hash3tr  12627  xpsfrnel  15413  symggen  17055  psgnunilem1  17078  lt6abl  17457  znfld  19055  frgpcyg  19068  xpsmet  21321  xpsxms  21473  xpsms  21474  isppw  23930  harinf  35628  frlmpwfi  35695
  Copyright terms: Public domain W3C validator