MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Structured version   Unicode version

Theorem nnexpcl 12161
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10536 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 10554 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 10542 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 12159 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ^cexp 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12090  df-exp 12149
This theorem is referenced by:  digit1  12282  nnexpcld  12313  faclbnd4lem3  12355  faclbnd5  12358  climcndslem1  13743  climcndslem2  13744  climcnds  13745  harmonic  13752  geo2sum  13764  geo2lim  13766  ege2le3  13907  eftlub  13926  ef01bndlem  14001  xpnnenOLD  14027  phiprmpw  14390  pcdvdsb  14476  pcmptcl  14494  pcfac  14502  pockthi  14509  prmreclem3  14520  prmreclem5  14522  prmreclem6  14523  modxai  14638  1259lem5  14701  2503lem3  14705  4001lem4  14710  ovollb2lem  22065  ovoliunlem1  22079  ovoliunlem3  22081  dyadf  22166  dyadovol  22168  dyadss  22169  dyaddisjlem  22170  dyadmaxlem  22172  opnmbllem  22176  mbfi1fseqlem1  22288  mbfi1fseqlem3  22290  mbfi1fseqlem4  22291  mbfi1fseqlem5  22292  mbfi1fseqlem6  22293  aalioulem1  22894  aaliou2b  22903  aaliou3lem9  22912  log2cnv  23472  log2tlbnd  23473  log2ublem1  23474  log2ublem2  23475  log2ub  23477  vmappw  23588  sgmnncl  23619  dvdsppwf1o  23660  0sgmppw  23671  1sgm2ppw  23673  vmasum  23689  mersenne  23700  perfect1  23701  perfectlem1  23702  perfectlem2  23703  perfect  23704  pcbcctr  23749  bclbnd  23753  bposlem2  23758  bposlem6  23762  bposlem8  23764  chebbnd1lem1  23852  rplogsumlem2  23868  ostth2lem3  24018  ostth3  24021  oddpwdc  28557  zetacvg  28821  faclim2  29414  opnmbllem0  30290  heiborlem3  30549  heiborlem5  30551  heiborlem6  30552  heiborlem7  30553  heiborlem8  30554  heibor  30557  blenpw2  33453  nnpw2pb  33462  nnolog2flm1  33465
  Copyright terms: Public domain W3C validator