MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Structured version   Unicode version

Theorem nnexpcl 12147
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10541 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 10559 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 10547 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 12145 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-exp 12135
This theorem is referenced by:  digit1  12268  nnexpcld  12299  faclbnd4lem3  12341  faclbnd5  12344  climcndslem1  13624  climcndslem2  13625  climcnds  13626  harmonic  13633  geo2sum  13645  geo2lim  13647  ege2le3  13687  eftlub  13705  ef01bndlem  13780  xpnnenOLD  13804  phiprmpw  14165  pcdvdsb  14251  pcmptcl  14269  pcfac  14277  pockthi  14284  prmreclem3  14295  prmreclem5  14297  prmreclem6  14298  modxai  14413  1259lem5  14475  2503lem3  14479  4001lem4  14484  ovollb2lem  21662  ovoliunlem1  21676  ovoliunlem3  21678  dyadf  21763  dyadovol  21765  dyadss  21766  dyaddisjlem  21767  dyadmaxlem  21769  opnmbllem  21773  mbfi1fseqlem1  21885  mbfi1fseqlem3  21887  mbfi1fseqlem4  21888  mbfi1fseqlem5  21889  mbfi1fseqlem6  21890  aalioulem1  22490  aaliou2b  22499  aaliou3lem9  22508  log2cnv  23031  log2tlbnd  23032  log2ublem1  23033  log2ublem2  23034  log2ub  23036  vmappw  23146  sgmnncl  23177  dvdsppwf1o  23218  0sgmppw  23229  1sgm2ppw  23231  vmasum  23247  mersenne  23258  perfect1  23259  perfectlem1  23260  perfectlem2  23261  perfect  23262  pcbcctr  23307  bclbnd  23311  bposlem2  23316  bposlem6  23320  bposlem8  23322  chebbnd1lem1  23410  rplogsumlem2  23426  ostth2lem3  23576  ostth3  23579  oddpwdc  27961  zetacvg  28225  faclim2  28778  opnmbllem0  29655  heiborlem3  29940  heiborlem5  29942  heiborlem6  29943  heiborlem7  29944  heiborlem8  29945  heibor  29948
  Copyright terms: Public domain W3C validator