MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnexpcl Structured version   Unicode version

Theorem nnexpcl 11874
Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnexpcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnexpcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10323 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnmulcl 10341 . 2  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  x.  y
)  e.  NN )
3 1nn 10329 . 2  |-  1  e.  NN
41, 2, 3expcllem 11872 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A ^ N
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761  (class class class)co 6090   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ^cexp 11861
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-seq 11803  df-exp 11862
This theorem is referenced by:  digit1  11994  nnexpcld  12025  faclbnd4lem3  12067  faclbnd5  12070  climcndslem1  13308  climcndslem2  13309  climcnds  13310  harmonic  13317  geo2sum  13329  geo2lim  13331  ege2le3  13371  eftlub  13389  ef01bndlem  13464  xpnnenOLD  13488  phiprmpw  13847  pcdvdsb  13931  pcmptcl  13949  pcfac  13957  pockthi  13964  prmreclem3  13975  prmreclem5  13977  prmreclem6  13978  modxai  14093  1259lem5  14155  2503lem3  14159  4001lem4  14164  ovollb2lem  20930  ovoliunlem1  20944  ovoliunlem3  20946  dyadf  21030  dyadovol  21032  dyadss  21033  dyaddisjlem  21034  dyadmaxlem  21036  opnmbllem  21040  mbfi1fseqlem1  21152  mbfi1fseqlem3  21154  mbfi1fseqlem4  21155  mbfi1fseqlem5  21156  mbfi1fseqlem6  21157  aalioulem1  21757  aaliou2b  21766  aaliou3lem9  21775  log2cnv  22298  log2tlbnd  22299  log2ublem1  22300  log2ublem2  22301  log2ub  22303  vmappw  22413  sgmnncl  22444  dvdsppwf1o  22485  0sgmppw  22496  1sgm2ppw  22498  vmasum  22514  mersenne  22525  perfect1  22526  perfectlem1  22527  perfectlem2  22528  perfect  22529  pcbcctr  22574  bclbnd  22578  bposlem2  22583  bposlem6  22587  bposlem8  22589  chebbnd1lem1  22677  rplogsumlem2  22693  ostth2lem3  22843  ostth3  22846  oddpwdc  26667  zetacvg  26931  faclim2  27483  opnmbllem0  28352  heiborlem3  28637  heiborlem5  28639  heiborlem6  28640  heiborlem7  28641  heiborlem8  28642  heibor  28645
  Copyright terms: Public domain W3C validator