MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnex Structured version   Unicode version

Theorem nnex 10328
Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnex  |-  NN  e.  _V

Proof of Theorem nnex
StepHypRef Expression
1 cnex 9363 . 2  |-  CC  e.  _V
2 nnsscn 10327 . 2  |-  NN  C_  CC
31, 2ssexi 4437 1  |-  NN  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   CCcc 9280   NNcn 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-nn 10323
This theorem is referenced by:  dfnn2  10335  nn0ex  10585  nn0ennn  11801  isercolllem2  13143  supcvg  13318  trireciplem  13324  expcnv  13326  geo2lim  13335  xpnnenOLD  13492  qnnen  13496  rpnnen2lem1  13497  rpnnen2lem2  13498  rpnnen  13509  rucALT  13512  unbenlem  13969  vdwapfval  14032  vdwapf  14033  vdwlem6  14047  vdwlem7  14048  vdwlem8  14049  vdwlem11  14052  ndxarg  14194  odval  16037  gexval  16077  ablfac1b  16571  pnrmopn  18947  1stcfb  19049  hausmapdom  19104  met1stc  20096  met2ndci  20097  rectbntr0  20409  metcld2  20817  elovolm  20958  elovolmr  20959  ovolmge0  20960  ovolgelb  20963  ovolctb  20973  ovol0  20976  ovolunlem1a  20979  ovolunlem1  20980  ovoliunlem1  20985  ovoliunlem2  20986  ovolshftlem2  20993  ovolicc2  21005  ioombl1  21043  mbfimaopnlem  21133  itg1climres  21192  mbfi1fseqlem6  21198  mbfi1flimlem  21200  mbfmullem2  21202  itg2monolem1  21228  itg2addlem  21236  plyeq0lem  21678  leibpi  22337  dfef2  22364  emcllem4  22392  emcllem6  22394  emcllem7  22395  basellem6  22423  basellem7  22424  basellem8  22425  basellem9  22426  vmaval  22451  sqff1o  22520  0sgmppw  22537  dchrisumlem3  22740  dirith2  22777  iseupa  23586  nmounbseqiOLD  24178  nmobndseqiOLD  24180  h2hcau  24381  h2hlm  24382  hcau  24586  hlimi  24590  hlimadd  24595  hhcms  24605  isch2  24626  chlimi  24637  hlim0  24638  hhsscms  24680  lmdvg  26383  esumfsup  26519  esumpcvgval  26527  esumcvg  26535  measiun  26632  voliune  26645  eulerpartlems  26743  eulerpartleme  26746  eulerpartlem1  26750  eulerpartlemb  26751  eulerpartlemt  26754  eulerpartgbij  26755  eulerpartlemr  26757  eulerpartlemmf  26758  eulerpartlemgvv  26759  eulerpartlemgf  26762  eulerpartlemgs2  26763  eulerpartlemn  26764  lgamgulmlem6  27020  lgamcvg2  27041  sinccvglem  27317  circum  27319  divcnvlin  27399  faclimlem2  27550  faclim2  27554  colinearex  28091  voliunnfl  28435  volsupnfl  28436  lmclim2  28654  geomcau  28655  rrncmslem  28731  eldioph3b  29103  lzenom  29108  diophin  29111  diophun  29112  pellexlem3  29172  pellexlem4  29173  pellexlem5  29174  clim1fr1  29774  wallispilem5  29864  wallispi  29865  stirlinglem1  29869  stirlinglem8  29876  stirlinglem14  29882  stirlinglem15  29883
  Copyright terms: Public domain W3C validator