MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnesuc Structured version   Unicode version

Theorem nnesuc 7160
Description: Exponentiation with a successor exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnesuc  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  suc  B )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  A ) )

Proof of Theorem nnesuc
StepHypRef Expression
1 nnon 6595 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 onesuc 7083 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  suc  B )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  A ) )
31, 2sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  suc  B )  =  ( ( A  ^o  B )  .o  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   Oncon0 4830   suc csuc 4832  (class class class)co 6203   omcom 6589    .o comu 7031    ^o coe 7032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-omul 7038  df-oexp 7039
This theorem is referenced by:  nnecl  7165
  Copyright terms: Public domain W3C validator