Theorem nnesqi 7912

Description: A natural number is even iff its square is even.

Hypothesis

Ref	Expression
nnsqcl.1	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
nnesqi	|- ((N / 2) e. NN <-> ((N^2) / 2) e. NN)

Proof of Theorem nnesqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 7124	. . . 4 |- (((N / 2) e. NN /\ (N / 2) e. NN) -> ((N / 2) x. (N / 2)) e. NN)
2	1	anidms 480	. . 3 |- ((N / 2) e. NN -> ((N / 2) x. (N / 2)) e. NN)
3		2nn 7183	. . . . 5 |- 2 e. NN
4		nnmulcl 7124	. . . . 5 |- ((2 e. NN /\ ((N / 2) x. (N / 2)) e. NN) -> (2 x. ((N / 2) x. (N / 2))) e. NN)
5	3, 4	mpan 759	. . . 4 |- (((N / 2) x. (N / 2)) e. NN -> (2 x. ((N / 2) x. (N / 2))) e. NN)
6		2cn 7164	. . . . . 6 |- 2 e. CC
7		nnsqcl.1	. . . . . . . 8 |- N e. NN
8	7	nncni 7115	. . . . . . 7 |- N e. CC
9		2ne0 7174	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
10	8, 6, 9	divcli 6899	. . . . . 6 |- (N / 2) e. CC
11	6, 10, 10	mulassi 6478	. . . . 5 |- ((2 x. (N / 2)) x. (N / 2)) = (2 x. ((N / 2) x. (N / 2)))
12	8, 8, 6, 9	divassi 6929	. . . . . 6 |- ((N x. N) / 2) = (N x. (N / 2))
13	8	sqvali 7859	. . . . . . 7 |- (N^2) = (N x. N)
14	13	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((N^2) / 2) = ((N x. N) / 2)
15	8, 6, 9	divcan2i 6905	. . . . . . 7 |- (2 x. (N / 2)) = N
16	15	opreq1i 4892	. . . . . 6 |- ((2 x. (N / 2)) x. (N / 2)) = (N x. (N / 2))
17	12, 14, 16	3eqtr4ri 1923	. . . . 5 |- ((2 x. (N / 2)) x. (N / 2)) = ((N^2) / 2)
18	11, 17	eqtr3i 1910	. . . 4 |- (2 x. ((N / 2) x. (N / 2))) = ((N^2) / 2)
19	5, 18	syl5eqelr 1976	. . 3 |- (((N / 2) x. (N / 2)) e. NN -> ((N^2) / 2) e. NN)
20	2, 19	syl 12	. 2 |- ((N / 2) e. NN -> ((N^2) / 2) e. NN)
21		nnmulcl 7124	. . . . . 6 |- ((((N + 1) / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN) -> (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2)) e. NN)
22	21	anidms 480	. . . . 5 |- (((N + 1) / 2) e. NN -> (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2)) e. NN)
23		nnmulcl 7124	. . . . . 6 |- ((2 e. NN /\ (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2)) e. NN) -> (2 x. (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2))) e. NN)
24	3, 23	mpan 759	. . . . 5 |- ((((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2)) e. NN -> (2 x. (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2))) e. NN)
25		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
26	8, 25	addcli 6473	. . . . . . . . . 10 |- (N + 1) e. CC
27	26, 6, 9	divcan2i 6905	. . . . . . . . 9 |- (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1)
28	27	opreq1i 4892	. . . . . . . 8 |- ((2 x. ((N + 1) / 2)) x. ((N + 1) / 2)) = ((N + 1) x. ((N + 1) / 2))
29	26, 6, 9	divcli 6899	. . . . . . . . 9 |- ((N + 1) / 2) e. CC
30	6, 29, 29	mulassi 6478	. . . . . . . 8 |- ((2 x. ((N + 1) / 2)) x. ((N + 1) / 2)) = (2 x. (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2)))
31	26, 26, 6, 9	divassi 6929	. . . . . . . . 9 |- (((N + 1) x. (N + 1)) / 2) = ((N + 1) x. ((N + 1) / 2))
32	26	sqvali 7859	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N + 1)^2) = ((N + 1) x. (N + 1))
33	8, 25	binom2i 7890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((N + 1)^2) = (((N^2) + (2 x. (N x. 1))) + (1^2))
34	8	mulid1i 6485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (N x. 1) = N
35	34	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (2 x. (N x. 1)) = (2 x. N)
36	35	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N^2) + (2 x. (N x. 1))) = ((N^2) + (2 x. N))
37		sq1 7882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (1^2) = 1
38	36, 37	opreq12i 4894	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((N^2) + (2 x. (N x. 1))) + (1^2)) = (((N^2) + (2 x. N)) + 1)
39	7	nnsqcli 7910	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (N^2) e. NN
40	39	nncni 7115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (N^2) e. CC
41	6, 8	mulcli 6474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (2 x. N) e. CC
42	40, 41, 25	add23i 6495	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((N^2) + (2 x. N)) + 1) = (((N^2) + 1) + (2 x. N))
43	33, 38, 42	3eqtri 1912	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N + 1)^2) = (((N^2) + 1) + (2 x. N))
44	32, 43	eqtr3i 1910	. . . . . . . . . . 11 |- ((N + 1) x. (N + 1)) = (((N^2) + 1) + (2 x. N))
45	44	opreq1i 4892	. . . . . . . . . 10 |- (((N + 1) x. (N + 1)) / 2) = ((((N^2) + 1) + (2 x. N)) / 2)
46	39	nnrei 7114	. . . . . . . . . . . . 13 |- (N^2) e. RR
47		1re 6598	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
48	46, 47	readdcli 6487	. . . . . . . . . . . 12 |- ((N^2) + 1) e. RR
49	48	recni 6467	. . . . . . . . . . 11 |- ((N^2) + 1) e. CC
50	49, 41, 6, 9	divdiri 6930	. . . . . . . . . 10 |- ((((N^2) + 1) + (2 x. N)) / 2) = ((((N^2) + 1) / 2) + ((2 x. N) / 2))
51	8, 6, 9	divcan3i 6934	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. N) / 2) = N
52	51	opreq2i 4893	. . . . . . . . . 10 |- ((((N^2) + 1) / 2) + ((2 x. N) / 2)) = ((((N^2) + 1) / 2) + N)
53	45, 50, 52	3eqtri 1912	. . . . . . . . 9 |- (((N + 1) x. (N + 1)) / 2) = ((((N^2) + 1) / 2) + N)
54	31, 53	eqtr3i 1910	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) x. ((N + 1) / 2)) = ((((N^2) + 1) / 2) + N)
55	28, 30, 54	3eqtr3i 1918	. . . . . . 7 |- (2 x. (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2))) = ((((N^2) + 1) / 2) + N)
56	55	eleq1i 1960	. . . . . 6 |- ((2 x. (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2))) e. NN <-> ((((N^2) + 1) / 2) + N) e. NN)
57	8	addid2i 6484	. . . . . . . . 9 |- (0 + N) = N
58		2re 7163	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
59	39	nngt0i 7133	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < (N^2)
60		lt01 6871	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
61	46, 47, 59, 60	addgt0ii 6781	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < ((N^2) + 1)
62		2pos 7173	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 2
63	48, 58, 61, 62	divgt0ii 7042	. . . . . . . . . 10 |- 0 < (((N^2) + 1) / 2)
64		0re 6603	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
65	48, 58, 9	redivcli 6976	. . . . . . . . . . 11 |- (((N^2) + 1) / 2) e. RR
66	7	nnrei 7114	. . . . . . . . . . 11 |- N e. RR
67	64, 65, 66	ltadd1i 6766	. . . . . . . . . 10 |- (0 < (((N^2) + 1) / 2) <-> (0 + N) < ((((N^2) + 1) / 2) + N))
68	63, 67	mpbi 206	. . . . . . . . 9 |- (0 + N) < ((((N^2) + 1) / 2) + N)
69	57, 68	eqbrtrri 3358	. . . . . . . 8 |- N < ((((N^2) + 1) / 2) + N)
70		nnsub 7141	. . . . . . . . 9 |- ((N e. NN /\ ((((N^2) + 1) / 2) + N) e. NN) -> (N < ((((N^2) + 1) / 2) + N) <-> (((((N^2) + 1) / 2) + N) - N) e. NN))
71	7, 70	mpan 759	. . . . . . . 8 |- (((((N^2) + 1) / 2) + N) e. NN -> (N < ((((N^2) + 1) / 2) + N) <-> (((((N^2) + 1) / 2) + N) - N) e. NN))
72	69, 71	mpbii 210	. . . . . . 7 |- (((((N^2) + 1) / 2) + N) e. NN -> (((((N^2) + 1) / 2) + N) - N) e. NN)
73	65	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- (((N^2) + 1) / 2) e. CC
74	73, 8, 8	addsubassi 6546	. . . . . . . 8 |- (((((N^2) + 1) / 2) + N) - N) = ((((N^2) + 1) / 2) + (N - N))
75	8	subidi 6551	. . . . . . . . 9 |- (N - N) = 0
76	75	opreq2i 4893	. . . . . . . 8 |- ((((N^2) + 1) / 2) + (N - N)) = ((((N^2) + 1) / 2) + 0)
77	73	addid1i 6483	. . . . . . . 8 |- ((((N^2) + 1) / 2) + 0) = (((N^2) + 1) / 2)
78	74, 76, 77	3eqtri 1912	. . . . . . 7 |- (((((N^2) + 1) / 2) + N) - N) = (((N^2) + 1) / 2)
79	72, 78	syl5eqelr 1976	. . . . . 6 |- (((((N^2) + 1) / 2) + N) e. NN -> (((N^2) + 1) / 2) e. NN)
80	56, 79	sylbi 216	. . . . 5 |- ((2 x. (((N + 1) / 2) x. ((N + 1) / 2))) e. NN -> (((N^2) + 1) / 2) e. NN)
81	22, 24, 80	3syl 24	. . . 4 |- (((N + 1) / 2) e. NN -> (((N^2) + 1) / 2) e. NN)
82	81	con3i 114	. . 3 |- (-. (((N^2) + 1) / 2) e. NN -> -. ((N + 1) / 2) e. NN)
83	39	nneoi 7409	. . 3 |- (((N^2) / 2) e. NN <-> -. (((N^2) + 1) / 2) e. NN)
84	7	nneoi 7409	. . 3 |- ((N / 2) e. NN <-> -. ((N + 1) / 2) e. NN)
85	82, 83, 84	3imtr4i 236	. 2 |- (((N^2) / 2) e. NN -> (N / 2) e. NN)
86	20, 85	impbii 174	1 |- ((N / 2) e. NN <-> ((N^2) / 2) e. NN)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145  ^cexp 7811

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem1 7974

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812

Copyright terms: Public domain