Theorem nneoi 7409

Description: A natural number is even or odd but not both.

Hypothesis

Ref	Expression
nneo.1	|- N e. NN

Assertion

Ref	Expression
nneoi	|- ((N / 2) e. NN <-> -. ((N + 1) / 2) e. NN)

Proof of Theorem nneoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2 7212	. . . . . . . 8 |- 1 < 2
2		1re 6598	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
3		2re 7163	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
4		nneo.1	. . . . . . . . . 10 |- N e. NN
5	4	nnrei 7114	. . . . . . . . 9 |- N e. RR
6	2, 3, 5	ltadd2i 6765	. . . . . . . 8 |- (1 < 2 <-> (N + 1) < (N + 2))
7	1, 6	mpbi 206	. . . . . . 7 |- (N + 1) < (N + 2)
8	5, 2	readdcli 6487	. . . . . . . . 9 |- (N + 1) e. RR
9	8	recni 6467	. . . . . . . 8 |- (N + 1) e. CC
10		2cn 7164	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
11		2ne0 7174	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
12	9, 10, 11	divcan2i 6905	. . . . . . 7 |- (2 x. ((N + 1) / 2)) = (N + 1)
13	5, 3, 11	redivcli 6976	. . . . . . . . . 10 |- (N / 2) e. RR
14	13	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- (N / 2) e. CC
15		ax1cn 6422	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
16	10, 14, 15	adddii 6479	. . . . . . . 8 |- (2 x. ((N / 2) + 1)) = ((2 x. (N / 2)) + (2 x. 1))
17	4	nncni 7115	. . . . . . . . . 10 |- N e. CC
18	17, 10, 11	divcan2i 6905	. . . . . . . . 9 |- (2 x. (N / 2)) = N
19	10	mulid1i 6485	. . . . . . . . 9 |- (2 x. 1) = 2
20	18, 19	opreq12i 4894	. . . . . . . 8 |- ((2 x. (N / 2)) + (2 x. 1)) = (N + 2)
21	16, 20	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- (2 x. ((N / 2) + 1)) = (N + 2)
22	7, 12, 21	3brtr4i 3365	. . . . . 6 |- (2 x. ((N + 1) / 2)) < (2 x. ((N / 2) + 1))
23		2pos 7173	. . . . . . 7 |- 0 < 2
24	8, 3, 11	redivcli 6976	. . . . . . . 8 |- ((N + 1) / 2) e. RR
25	13, 2	readdcli 6487	. . . . . . . 8 |- ((N / 2) + 1) e. RR
26	24, 25, 3	ltmul2i 7015	. . . . . . 7 |- (0 < 2 -> (((N + 1) / 2) < ((N / 2) + 1) <-> (2 x. ((N + 1) / 2)) < (2 x. ((N / 2) + 1))))
27	23, 26	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (((N + 1) / 2) < ((N / 2) + 1) <-> (2 x. ((N + 1) / 2)) < (2 x. ((N / 2) + 1)))
28	22, 27	mpbir 207	. . . . 5 |- ((N + 1) / 2) < ((N / 2) + 1)
29	24, 25	ltnlei 6754	. . . . 5 |- (((N + 1) / 2) < ((N / 2) + 1) <-> -. ((N / 2) + 1) <_ ((N + 1) / 2))
30	28, 29	mpbi 206	. . . 4 |- -. ((N / 2) + 1) <_ ((N + 1) / 2)
31	5	ltp1i 6991	. . . . . 6 |- N < (N + 1)
32	5, 8, 3, 23	ltdiv1ii 7001	. . . . . 6 |- (N < (N + 1) <-> (N / 2) < ((N + 1) / 2))
33	31, 32	mpbi 206	. . . . 5 |- (N / 2) < ((N + 1) / 2)
34		nnltp1le 7139	. . . . 5 |- (((N / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN) -> ((N / 2) < ((N + 1) / 2) <-> ((N / 2) + 1) <_ ((N + 1) / 2)))
35	33, 34	mpbii 210	. . . 4 |- (((N / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN) -> ((N / 2) + 1) <_ ((N + 1) / 2))
36	30, 35	mto 121	. . 3 |- -. ((N / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN)
37		imnan 261	. . 3 |- (((N / 2) e. NN -> -. ((N + 1) / 2) e. NN) <-> -. ((N / 2) e. NN /\ ((N + 1) / 2) e. NN))
38	36, 37	mpbir 207	. 2 |- ((N / 2) e. NN -> -. ((N + 1) / 2) e. NN)
39		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (j = 1 -> (j + 1) = (1 + 1))
40	39	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (j = 1 -> ((j + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
41	40	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = 1 -> (((j + 1) / 2) e. NN <-> ((1 + 1) / 2) e. NN))
42		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (j = 1 -> (j / 2) = (1 / 2))
43	42	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = 1 -> ((j / 2) e. NN <-> (1 / 2) e. NN))
44	41, 43	orbi12d 689	. . . . 5 |- (j = 1 -> ((((j + 1) / 2) e. NN \/ (j / 2) e. NN) <-> (((1 + 1) / 2) e. NN \/ (1 / 2) e. NN)))
45		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (j = k -> (j + 1) = (k + 1))
46	45	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (j = k -> ((j + 1) / 2) = ((k + 1) / 2))
47	46	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = k -> (((j + 1) / 2) e. NN <-> ((k + 1) / 2) e. NN))
48		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (j = k -> (j / 2) = (k / 2))
49	48	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = k -> ((j / 2) e. NN <-> (k / 2) e. NN))
50	47, 49	orbi12d 689	. . . . 5 |- (j = k -> ((((j + 1) / 2) e. NN \/ (j / 2) e. NN) <-> (((k + 1) / 2) e. NN \/ (k / 2) e. NN)))
51		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (j = (k + 1) -> (j + 1) = ((k + 1) + 1))
52	51	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> ((j + 1) / 2) = (((k + 1) + 1) / 2))
53	52	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = (k + 1) -> (((j + 1) / 2) e. NN <-> (((k + 1) + 1) / 2) e. NN))
54		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (j = (k + 1) -> (j / 2) = ((k + 1) / 2))
55	54	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = (k + 1) -> ((j / 2) e. NN <-> ((k + 1) / 2) e. NN))
56	53, 55	orbi12d 689	. . . . 5 |- (j = (k + 1) -> ((((j + 1) / 2) e. NN \/ (j / 2) e. NN) <-> ((((k + 1) + 1) / 2) e. NN \/ ((k + 1) / 2) e. NN)))
57		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (j = N -> (j + 1) = (N + 1))
58	57	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- (j = N -> ((j + 1) / 2) = ((N + 1) / 2))
59	58	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = N -> (((j + 1) / 2) e. NN <-> ((N + 1) / 2) e. NN))
60		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (j = N -> (j / 2) = (N / 2))
61	60	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (j = N -> ((j / 2) e. NN <-> (N / 2) e. NN))
62	59, 61	orbi12d 689	. . . . 5 |- (j = N -> ((((j + 1) / 2) e. NN \/ (j / 2) e. NN) <-> (((N + 1) / 2) e. NN \/ (N / 2) e. NN)))
63		df-2 7154	. . . . . . . . 9 |- 2 = (1 + 1)
64	63	opreq1i 4892	. . . . . . . 8 |- (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
65	10, 11	dividi 6946	. . . . . . . 8 |- (2 / 2) = 1
66	64, 65	eqtr3i 1910	. . . . . . 7 |- ((1 + 1) / 2) = 1
67		1nn 7117	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
68	66, 67	eqeltri 1967	. . . . . 6 |- ((1 + 1) / 2) e. NN
69	68	orci 292	. . . . 5 |- (((1 + 1) / 2) e. NN \/ (1 / 2) e. NN)
70		nncn 7113	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> k e. CC)
71		addass 6460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((k e. CC /\ 1 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((k + 1) + 1) = (k + (1 + 1)))
72	15, 15, 71	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k e. CC -> ((k + 1) + 1) = (k + (1 + 1)))
73	63	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . 13 |- (k + 2) = (k + (1 + 1))
74	72, 73	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. CC -> ((k + 1) + 1) = (k + 2))
75	74	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. CC -> (((k + 1) + 1) / 2) = ((k + 2) / 2))
76	10, 11	pm3.2i 307	. . . . . . . . . . . . 13 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
77		divdir 6933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((k e. CC /\ 2 e. CC /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> ((k + 2) / 2) = ((k / 2) + (2 / 2)))
78	10, 76, 77	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. CC -> ((k + 2) / 2) = ((k / 2) + (2 / 2)))
79	65	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . 12 |- ((k / 2) + (2 / 2)) = ((k / 2) + 1)
80	78, 79	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. CC -> ((k + 2) / 2) = ((k / 2) + 1))
81	75, 80	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- (k e. CC -> (((k + 1) + 1) / 2) = ((k / 2) + 1))
82	70, 81	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (((k + 1) + 1) / 2) = ((k / 2) + 1))
83	82	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> ((((k + 1) + 1) / 2) e. NN <-> ((k / 2) + 1) e. NN))
84		peano2nn 7118	. . . . . . . 8 |- ((k / 2) e. NN -> ((k / 2) + 1) e. NN)
85	83, 84	syl5bir 227	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((k / 2) e. NN -> (((k + 1) + 1) / 2) e. NN))
86	85	orim2d 626	. . . . . 6 |- (k e. NN -> ((((k + 1) / 2) e. NN \/ (k / 2) e. NN) -> (((k + 1) / 2) e. NN \/ (((k + 1) + 1) / 2) e. NN)))
87		orcom 266	. . . . . 6 |- ((((k + 1) / 2) e. NN \/ (((k + 1) + 1) / 2) e. NN) <-> ((((k + 1) + 1) / 2) e. NN \/ ((k + 1) / 2) e. NN))
88	86, 87	syl6ib 229	. . . . 5 |- (k e. NN -> ((((k + 1) / 2) e. NN \/ (k / 2) e. NN) -> ((((k + 1) + 1) / 2) e. NN \/ ((k + 1) / 2) e. NN)))
89	44, 50, 56, 62, 69, 88	nnind 7120	. . . 4 |- (N e. NN -> (((N + 1) / 2) e. NN \/ (N / 2) e. NN))
90	4, 89	ax-mp 7	. . 3 |- (((N + 1) / 2) e. NN \/ (N / 2) e. NN)
91	90	ori 247	. 2 |- (-. ((N + 1) / 2) e. NN -> (N / 2) e. NN)
92	38, 91	impbii 174	1 |- ((N / 2) e. NN <-> -. ((N + 1) / 2) e. NN)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145

This theorem is referenced by:  nneo 7410  nnesqi 7912

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154

Copyright terms: Public domain