MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneob Structured version   Unicode version

Theorem nneob 7293
Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneob  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nneob
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( 2o  .o  x )  =  ( 2o  .o  y
) )
21eqeq2d 2468 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  =  ( 2o  .o  x )  <->  A  =  ( 2o  .o  y
) ) )
32cbvrexv 3082 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. y  e.  om  A  =  ( 2o  .o  y ) )
4 nnneo 7292 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  x  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y ) )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
543com23 1200 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y )  /\  x  e.  om )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o 
.o  x ) )
653expa 1194 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o 
.o  y ) )  /\  x  e.  om )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) )
76nrexdv 2910 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y ) )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  x ) )
87rexlimiva 2942 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  A  =  ( 2o  .o  y )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
93, 8sylbi 195 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
10 suceq 4932 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  suc  (/) )
1110eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( suc  y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1211rexbidv 2965 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1312notbid 292 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -. 
E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
14 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  =  ( 2o  .o  x )  <->  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1514rexbidv 2965 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o 
.o  x ) ) )
1613, 15imbi12d 318 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( -.  E. x  e. 
om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
17 suceq 4932 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  suc  y  =  suc  z )
1817eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
1918rexbidv 2965 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2019notbid 292 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
21 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2221rexbidv 2965 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2320, 22imbi12d 318 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
24 suceq 4932 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  ->  suc  y  =  suc  suc  z )
2524eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2625rexbidv 2965 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( E. x  e. 
om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2726notbid 292 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
28 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2928rexbidv 2965 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( E. x  e. 
om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
3027, 29imbi12d 318 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) ) )
31 suceq 4932 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  suc  y  =  suc  A )
3231eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3332rexbidv 2965 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3433notbid 292 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
35 eqeq1 2458 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3635rexbidv 2965 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) )
3734, 36imbi12d 318 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
38 peano1 6692 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
39 eqid 2454 . . . . 5  |-  (/)  =  (/)
40 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 2o 
.o  x )  =  ( 2o  .o  (/) ) )
41 om0x 7161 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
.o  (/) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 2o 
.o  x )  =  (/) )
4342eqeq2d 2468 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  =  ( 2o  .o  x )  <->  (/)  =  (/) ) )
4443rspcev 3207 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) )
4538, 39, 44mp2an 670 . . . 4  |-  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o 
.o  x )
4645a1i 11 . . 3  |-  ( -. 
E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) )
471eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( 2o 
.o  x )  <->  z  =  ( 2o  .o  y
) ) )
4847cbvrexv 3082 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y ) )
49 peano2 6693 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
50 2onn 7281 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
51 nnmsuc 7248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 2o  .o  suc  y )  =  ( ( 2o  .o  y
)  +o  2o ) )
5250, 51mpan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( 2o  .o  suc  y )  =  ( ( 2o 
.o  y )  +o  2o ) )
53 df-2o 7123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
5453oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  +o  2o )  =  ( ( 2o  .o  y )  +o  suc  1o )
55 nnmcl 7253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 2o  .o  y
)  e.  om )
5650, 55mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  ( 2o  .o  y )  e. 
om )
57 1onn 7280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  om
58 nnasuc 7247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2o  .o  y
)  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( ( 2o  .o  y )  +o  suc  1o )  =  suc  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o ) )
5956, 57, 58sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  suc  1o )  =  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o ) )
6054, 59syl5req 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  ( ( 2o  .o  y )  +o  2o ) )
61 nnon 6679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  e.  om  ->  ( 2o  .o  y )  e.  On )
62 oa1suc 7173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  e.  On  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
63 suceq 4932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y )  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  suc  suc  ( 2o  .o  y ) )
6456, 61, 62, 634syl 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  suc  suc  ( 2o  .o  y ) )
6552, 60, 643eqtr2rd 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  suc  ( 2o  .o  y
)  =  ( 2o 
.o  suc  y )
)
66 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 2o  .o  x
)  =  ( 2o 
.o  suc  y )
)
6766eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  suc  ( 2o 
.o  y )  =  ( 2o  .o  x
)  <->  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  suc  y
) ) )
6867rspcev 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\ 
suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  suc  y
) )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x
) )
6949, 65, 68syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x
) )
70 suceq 4932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  suc  z  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
71 suceq 4932 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  z  =  suc  ( 2o  .o  y )  ->  suc  suc  z  =  suc  suc  ( 2o  .o  y
) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  suc  suc  z  =  suc  suc  ( 2o  .o  y
) )
7372eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  ( suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7473rexbidv 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  ( E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7569, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
z  =  ( 2o 
.o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7675rexlimiv 2940 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) )
7776a1i 11 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  ( E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7848, 77syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7978con3d 133 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  -.  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
80 con1 128 . . . 4  |-  ( ( -.  E. x  e. 
om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) )  ->  ( -.  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
8179, 80syl9 71 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) )  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
8216, 23, 30, 37, 46, 81finds 6699 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) )
839, 82impbid2 204 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   (/)c0 3783   Oncon0 4867   suc csuc 4869  (class class class)co 6270   omcom 6673   1oc1o 7115   2oc2o 7116    +o coa 7119    .o comu 7120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8775
  Copyright terms: Public domain W3C validator