MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneob Structured version   Unicode version

Theorem nneob 7352
Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneob  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nneob
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( 2o  .o  x )  =  ( 2o  .o  y
) )
21eqeq2d 2434 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  =  ( 2o  .o  x )  <->  A  =  ( 2o  .o  y
) ) )
32cbvrexv 3054 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. y  e.  om  A  =  ( 2o  .o  y ) )
4 nnneo 7351 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  x  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y ) )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
543com23 1211 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y )  /\  x  e.  om )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o 
.o  x ) )
653expa 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o 
.o  y ) )  /\  x  e.  om )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) )
76nrexdv 2879 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y ) )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  x ) )
87rexlimiva 2911 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  A  =  ( 2o  .o  y )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
93, 8sylbi 198 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
10 suceq 5498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  suc  (/) )
1110eqeq1d 2422 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( suc  y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1211rexbidv 2937 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1312notbid 295 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -. 
E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
14 eqeq1 2424 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  =  ( 2o  .o  x )  <->  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1514rexbidv 2937 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o 
.o  x ) ) )
1613, 15imbi12d 321 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( -.  E. x  e. 
om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
17 suceq 5498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  suc  y  =  suc  z )
1817eqeq1d 2422 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
1918rexbidv 2937 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2019notbid 295 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
21 eqeq1 2424 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2221rexbidv 2937 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2320, 22imbi12d 321 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
24 suceq 5498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  ->  suc  y  =  suc  suc  z )
2524eqeq1d 2422 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2625rexbidv 2937 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( E. x  e. 
om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2726notbid 295 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
28 eqeq1 2424 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2928rexbidv 2937 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( E. x  e. 
om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
3027, 29imbi12d 321 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) ) )
31 suceq 5498 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  suc  y  =  suc  A )
3231eqeq1d 2422 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3332rexbidv 2937 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3433notbid 295 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
35 eqeq1 2424 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3635rexbidv 2937 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) )
3734, 36imbi12d 321 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
38 peano1 6717 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
39 eqid 2420 . . . . 5  |-  (/)  =  (/)
40 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 2o 
.o  x )  =  ( 2o  .o  (/) ) )
41 om0x 7220 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
.o  (/) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2477 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 2o 
.o  x )  =  (/) )
4342eqeq2d 2434 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  =  ( 2o  .o  x )  <->  (/)  =  (/) ) )
4443rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) )
4538, 39, 44mp2an 676 . . . 4  |-  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o 
.o  x )
4645a1i 11 . . 3  |-  ( -. 
E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) )
471eqeq2d 2434 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( 2o 
.o  x )  <->  z  =  ( 2o  .o  y
) ) )
4847cbvrexv 3054 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y ) )
49 peano2 6718 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
50 2onn 7340 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
51 nnmsuc 7307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 2o  .o  suc  y )  =  ( ( 2o  .o  y
)  +o  2o ) )
5250, 51mpan 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( 2o  .o  suc  y )  =  ( ( 2o 
.o  y )  +o  2o ) )
53 df-2o 7182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
5453oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  +o  2o )  =  ( ( 2o  .o  y )  +o  suc  1o )
55 nnmcl 7312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 2o  .o  y
)  e.  om )
5650, 55mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  ( 2o  .o  y )  e. 
om )
57 1onn 7339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  om
58 nnasuc 7306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2o  .o  y
)  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( ( 2o  .o  y )  +o  suc  1o )  =  suc  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o ) )
5956, 57, 58sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  suc  1o )  =  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o ) )
6054, 59syl5req 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  ( ( 2o  .o  y )  +o  2o ) )
61 nnon 6703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  e.  om  ->  ( 2o  .o  y )  e.  On )
62 oa1suc 7232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  e.  On  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
63 suceq 5498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y )  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  suc  suc  ( 2o  .o  y ) )
6456, 61, 62, 634syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  suc  suc  ( 2o  .o  y ) )
6552, 60, 643eqtr2rd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  suc  ( 2o  .o  y
)  =  ( 2o 
.o  suc  y )
)
66 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 2o  .o  x
)  =  ( 2o 
.o  suc  y )
)
6766eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  suc  ( 2o 
.o  y )  =  ( 2o  .o  x
)  <->  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  suc  y
) ) )
6867rspcev 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\ 
suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  suc  y
) )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x
) )
6949, 65, 68syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x
) )
70 suceq 5498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  suc  z  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
71 suceq 5498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  z  =  suc  ( 2o  .o  y )  ->  suc  suc  z  =  suc  suc  ( 2o  .o  y
) )
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  suc  suc  z  =  suc  suc  ( 2o  .o  y
) )
7372eqeq1d 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  ( suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7473rexbidv 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  ( E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7569, 74syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
z  =  ( 2o 
.o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7675rexlimiv 2909 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) )
7776a1i 11 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  ( E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7848, 77syl5bi 220 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7978con3d 138 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  -.  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
80 con1 131 . . . 4  |-  ( ( -.  E. x  e. 
om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) )  ->  ( -.  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
8179, 80syl9 73 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) )  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
8216, 23, 30, 37, 46, 81finds 6724 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) )
839, 82impbid2 207 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   E.wrex 2774   (/)c0 3758   Oncon0 5433   suc csuc 5435  (class class class)co 6296   omcom 6697   1oc1o 7174   2oc2o 7175    +o coa 7178    .o comu 7179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8823
  Copyright terms: Public domain W3C validator