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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > nneob | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.) |
Ref | Expression |
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nneob |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 6316 |
. . . . 5
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2 | 1 | eqeq2d 2481 |
. . . 4
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3 | 2 | cbvrexv 3006 |
. . 3
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4 | nnneo 7370 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | 3com23 1237 |
. . . . . 6
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6 | 5 | 3expa 1231 |
. . . . 5
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7 | 6 | nrexdv 2842 |
. . . 4
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8 | 7 | rexlimiva 2868 |
. . 3
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9 | 3, 8 | sylbi 200 |
. 2
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10 | suceq 5495 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | eqeq1d 2473 |
. . . . . 6
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12 | 11 | rexbidv 2892 |
. . . . 5
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13 | 12 | notbid 301 |
. . . 4
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14 | eqeq1 2475 |
. . . . 5
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15 | 14 | rexbidv 2892 |
. . . 4
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16 | 13, 15 | imbi12d 327 |
. . 3
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17 | suceq 5495 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | eqeq1d 2473 |
. . . . . 6
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19 | 18 | rexbidv 2892 |
. . . . 5
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20 | 19 | notbid 301 |
. . . 4
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21 | eqeq1 2475 |
. . . . 5
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22 | 21 | rexbidv 2892 |
. . . 4
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23 | 20, 22 | imbi12d 327 |
. . 3
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24 | suceq 5495 |
. . . . . . 7
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25 | 24 | eqeq1d 2473 |
. . . . . 6
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26 | 25 | rexbidv 2892 |
. . . . 5
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27 | 26 | notbid 301 |
. . . 4
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28 | eqeq1 2475 |
. . . . 5
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29 | 28 | rexbidv 2892 |
. . . 4
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30 | 27, 29 | imbi12d 327 |
. . 3
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31 | suceq 5495 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | eqeq1d 2473 |
. . . . . 6
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33 | 32 | rexbidv 2892 |
. . . . 5
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34 | 33 | notbid 301 |
. . . 4
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35 | eqeq1 2475 |
. . . . 5
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36 | 35 | rexbidv 2892 |
. . . 4
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37 | 34, 36 | imbi12d 327 |
. . 3
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38 | peano1 6731 |
. . . . 5
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39 | eqid 2471 |
. . . . 5
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40 | oveq2 6316 |
. . . . . . . 8
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41 | om0x 7239 |
. . . . . . . 8
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42 | 40, 41 | syl6eq 2521 |
. . . . . . 7
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43 | 42 | eqeq2d 2481 |
. . . . . 6
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44 | 43 | rspcev 3136 |
. . . . 5
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45 | 38, 39, 44 | mp2an 686 |
. . . 4
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46 | 45 | a1i 11 |
. . 3
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47 | 1 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | cbvrexv 3006 |
. . . . . 6
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49 | peano2 6732 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 2onn 7359 |
. . . . . . . . . . . 12
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51 | nnmsuc 7326 |
. . . . . . . . . . . 12
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52 | 50, 51 | mpan 684 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | df-2o 7201 |
. . . . . . . . . . . . 13
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54 | 53 | oveq2i 6319 |
. . . . . . . . . . . 12
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55 | nnmcl 7331 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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56 | 50, 55 | mpan 684 |
. . . . . . . . . . . . 13
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57 | 1onn 7358 |
. . . . . . . . . . . . 13
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58 | nnasuc 7325 |
. . . . . . . . . . . . 13
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59 | 56, 57, 58 | sylancl 675 |
. . . . . . . . . . . 12
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60 | 54, 59 | syl5req 2518 |
. . . . . . . . . . 11
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61 | nnon 6717 |
. . . . . . . . . . . 12
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62 | oa1suc 7251 |
. . . . . . . . . . . 12
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63 | suceq 5495 |
. . . . . . . . . . . 12
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64 | 56, 61, 62, 63 | 4syl 19 |
. . . . . . . . . . 11
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65 | 52, 60, 64 | 3eqtr2rd 2512 |
. . . . . . . . . 10
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66 | oveq2 6316 |
. . . . . . . . . . . 12
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67 | 66 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . . . . . 11
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68 | 67 | rspcev 3136 |
. . . . . . . . . 10
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69 | 49, 65, 68 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . 9
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70 | suceq 5495 |
. . . . . . . . . . . 12
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71 | suceq 5495 |
. . . . . . . . . . . 12
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72 | 70, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
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73 | 72 | eqeq1d 2473 |
. . . . . . . . . 10
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74 | 73 | rexbidv 2892 |
. . . . . . . . 9
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75 | 69, 74 | syl5ibrcom 230 |
. . . . . . . 8
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76 | 75 | rexlimiv 2867 |
. . . . . . 7
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77 | 76 | a1i 11 |
. . . . . 6
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78 | 48, 77 | syl5bi 225 |
. . . . 5
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79 | 78 | con3d 140 |
. . . 4
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80 | con1 133 |
. . . 4
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81 | 79, 80 | syl9 72 |
. . 3
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82 | 16, 23, 30, 37, 46, 81 | finds 6738 |
. 2
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83 | 9, 82 | impbid2 209 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-omul 7205 |
This theorem is referenced by: fin1a2lem5 8852 |
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