MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneob Structured version   Unicode version

Theorem nneob 7194
Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneob  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nneob
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6201 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( 2o  .o  x )  =  ( 2o  .o  y
) )
21eqeq2d 2465 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  =  ( 2o  .o  x )  <->  A  =  ( 2o  .o  y
) ) )
32cbvrexv 3047 . . 3  |-  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. y  e.  om  A  =  ( 2o  .o  y ) )
4 nnneo 7193 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  x  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y ) )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
543com23 1194 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y )  /\  x  e.  om )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o 
.o  x ) )
653expa 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o 
.o  y ) )  /\  x  e.  om )  ->  -.  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) )
76nrexdv 2918 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  =  ( 2o  .o  y ) )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  x ) )
87rexlimiva 2935 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  A  =  ( 2o  .o  y )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
93, 8sylbi 195 . 2  |-  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  ->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x ) )
10 suceq 4885 . . . . . . 7  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  y  =  suc  (/) )
1110eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( suc  y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1211rexbidv 2855 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1312notbid 294 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( -. 
E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
14 eqeq1 2455 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  =  ( 2o  .o  x )  <->  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) )
1514rexbidv 2855 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o 
.o  x ) ) )
1613, 15imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( -.  E. x  e. 
om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
17 suceq 4885 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  suc  y  =  suc  z )
1817eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
1918rexbidv 2855 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2019notbid 294 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
21 eqeq1 2455 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2221rexbidv 2855 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2320, 22imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
24 suceq 4885 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  z  ->  suc  y  =  suc  suc  z )
2524eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
2625rexbidv 2855 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( E. x  e. 
om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2726notbid 294 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  <->  -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
28 eqeq1 2455 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
2928rexbidv 2855 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( E. x  e. 
om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
3027, 29imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) ) )
31 suceq 4885 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  suc  y  =  suc  A )
3231eqeq1d 2453 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3332rexbidv 2855 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3433notbid 294 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
35 eqeq1 2455 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  ( 2o 
.o  x )  <->  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
3635rexbidv 2855 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) )
3734, 36imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  y  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  y  =  ( 2o  .o  x ) )  <->  ( -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
38 peano1 6598 . . . . 5  |-  (/)  e.  om
39 eqid 2451 . . . . 5  |-  (/)  =  (/)
40 oveq2 6201 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 2o 
.o  x )  =  ( 2o  .o  (/) ) )
41 om0x 7062 . . . . . . . 8  |-  ( 2o 
.o  (/) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( 2o 
.o  x )  =  (/) )
4342eqeq2d 2465 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  =  ( 2o  .o  x )  <->  (/)  =  (/) ) )
4443rspcev 3172 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) )
4538, 39, 44mp2an 672 . . . 4  |-  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o 
.o  x )
4645a1i 11 . . 3  |-  ( -. 
E. x  e.  om  suc  (/)  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  (/)  =  ( 2o  .o  x ) )
471eqeq2d 2465 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  ( 2o 
.o  x )  <->  z  =  ( 2o  .o  y
) ) )
4847cbvrexv 3047 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y ) )
49 peano2 6599 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
50 2onn 7182 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
51 nnmsuc 7149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 2o  .o  suc  y )  =  ( ( 2o  .o  y
)  +o  2o ) )
5250, 51mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  ( 2o  .o  suc  y )  =  ( ( 2o 
.o  y )  +o  2o ) )
53 df-2o 7024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
5453oveq2i 6204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  +o  2o )  =  ( ( 2o  .o  y )  +o  suc  1o )
55 nnmcl 7154 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 2o  .o  y
)  e.  om )
5650, 55mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  om  ->  ( 2o  .o  y )  e. 
om )
57 1onn 7181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  om
58 nnasuc 7148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2o  .o  y
)  e.  om  /\  1o  e.  om )  -> 
( ( 2o  .o  y )  +o  suc  1o )  =  suc  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o ) )
5956, 57, 58sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  suc  1o )  =  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o ) )
6054, 59syl5req 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  ( ( 2o  .o  y )  +o  2o ) )
61 nnon 6585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  e.  om  ->  ( 2o  .o  y )  e.  On )
62 oa1suc 7074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2o  .o  y )  e.  On  ->  (
( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
63 suceq 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2o  .o  y
)  +o  1o )  =  suc  ( 2o 
.o  y )  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  suc  suc  ( 2o  .o  y ) )
6456, 61, 62, 634syl 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  suc  ( ( 2o  .o  y )  +o  1o )  =  suc  suc  ( 2o  .o  y ) )
6552, 60, 643eqtr2rd 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  suc  suc  ( 2o  .o  y
)  =  ( 2o 
.o  suc  y )
)
66 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 2o  .o  x
)  =  ( 2o 
.o  suc  y )
)
6766eqeq2d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  suc  ( 2o 
.o  y )  =  ( 2o  .o  x
)  <->  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  suc  y
) ) )
6867rspcev 3172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  y  e.  om  /\ 
suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  suc  y
) )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x
) )
6949, 65, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x
) )
70 suceq 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  suc  z  =  suc  ( 2o 
.o  y ) )
71 suceq 4885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  z  =  suc  ( 2o  .o  y )  ->  suc  suc  z  =  suc  suc  ( 2o  .o  y
) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  suc  suc  z  =  suc  suc  ( 2o  .o  y
) )
7372eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  ( suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7473rexbidv 2855 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 2o  .o  y )  ->  ( E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  <->  E. x  e.  om  suc  suc  ( 2o  .o  y )  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7569, 74syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
z  =  ( 2o 
.o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7675rexlimiv 2934 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) )
7776a1i 11 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  ( E. y  e.  om  z  =  ( 2o  .o  y )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7848, 77syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
7978con3d 133 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  -.  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) ) )
80 con1 128 . . . 4  |-  ( ( -.  E. x  e. 
om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) )  ->  ( -.  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
) ) )
8179, 80syl9 71 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( -.  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x
)  ->  E. x  e.  om  z  =  ( 2o  .o  x ) )  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  suc  z  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  suc  z  =  ( 2o  .o  x ) ) ) )
8216, 23, 30, 37, 46, 81finds 6605 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o 
.o  x )  ->  E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x ) ) )
839, 82impbid2 204 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( E. x  e.  om  A  =  ( 2o  .o  x )  <->  -.  E. x  e.  om  suc  A  =  ( 2o  .o  x
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   (/)c0 3738   Oncon0 4820   suc csuc 4822  (class class class)co 6193   omcom 6579   1oc1o 7016   2oc2o 7017    +o coa 7020    .o comu 7021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-omul 7028
This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8677
  Copyright terms: Public domain W3C validator