Theorem nneob 7194

Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneob	|- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nneob

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6201	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o y ) )
2	1	eqeq2d 2465	. . . 4 |- ( x = y -> ( A = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o y ) ) )
3	2	cbvrexv 3047	. . 3 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om A = ( 2o .o y ) )
4		nnneo 7193	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ x e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
5	4	3com23 1194	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
6	5	3expa 1188	. . . . 5 |- ( ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
7	6	nrexdv 2918	. . . 4 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
8	7	rexlimiva 2935	. . 3 |- ( E. y e. om A = ( 2o .o y ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
9	3, 8	sylbi 195	. 2 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
10		suceq 4885	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
11	10	eqeq1d 2453	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
12	11	rexbidv 2855	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
13	12	notbid 294	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
14		eqeq1 2455	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( y = ( 2o .o x ) <-> (/) = ( 2o .o x ) ) )
15	14	rexbidv 2855	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) )
16	13, 15	imbi12d 320	. . 3 |- ( y = (/) -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) ) )
17		suceq 4885	. . . . . . 7 |- ( y = z -> suc y = suc z )
18	17	eqeq1d 2453	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
19	18	rexbidv 2855	. . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
20	19	notbid 294	. . . 4 |- ( y = z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
21		eqeq1 2455	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o x ) ) )
22	21	rexbidv 2855	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
23	20, 22	imbi12d 320	. . 3 |- ( y = z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) ) )
24		suceq 4885	. . . . . . 7 |- ( y = suc z -> suc y = suc suc z )
25	24	eqeq1d 2453	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
26	25	rexbidv 2855	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
27	26	notbid 294	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
28		eqeq1 2455	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
29	28	rexbidv 2855	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
30	27, 29	imbi12d 320	. . 3 |- ( y = suc z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
31		suceq 4885	. . . . . . 7 |- ( y = A -> suc y = suc A )
32	31	eqeq1d 2453	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc A = ( 2o .o x ) ) )
33	32	rexbidv 2855	. . . . 5 |- ( y = A -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
34	33	notbid 294	. . . 4 |- ( y = A -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
35		eqeq1 2455	. . . . 5 |- ( y = A -> ( y = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o x ) ) )
36	35	rexbidv 2855	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
37	34, 36	imbi12d 320	. . 3 |- ( y = A -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) ) )
38		peano1 6598	. . . . 5 |- (/) e. om
39		eqid 2451	. . . . 5 |- (/) = (/)
40		oveq2 6201	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o (/) ) )
41		om0x 7062	. . . . . . . 8 |- ( 2o .o (/) ) = (/)
42	40, 41	syl6eq 2508	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = (/) )
43	42	eqeq2d 2465	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) = ( 2o .o x ) <-> (/) = (/) ) )
44	43	rspcev 3172	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ (/) = (/) ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
45	38, 39, 44	mp2an 672	. . . 4 |- E. x e. om (/) = ( 2o .o x )
46	45	a1i 11	. . 3 |- ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
47	1	eqeq2d 2465	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( z = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o y ) ) )
48	47	cbvrexv 3047	. . . . . 6 |- ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om z = ( 2o .o y ) )
49		peano2 6599	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
50		2onn 7182	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
51		nnmsuc 7149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
52	50, 51	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
53		df-2o 7024	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
54	53	oveq2i 6204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) +o 2o ) = ( ( 2o .o y ) +o suc 1o )
55		nnmcl 7154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o y ) e. om )
56	50, 55	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( 2o .o y ) e. om )
57		1onn 7181	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. om
58		nnasuc 7148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2o .o y ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
59	56, 57, 58	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
60	54, 59	syl5req 2505	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
61		nnon 6585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. om -> ( 2o .o y ) e. On )
62		oa1suc 7074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. On -> ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) )
63		suceq 4885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
64	56, 61, 62, 63	4syl 21	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
65	52, 60, 64	3eqtr2rd 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) )
66		oveq2 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o suc y ) )
67	66	eqeq2d 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) )
68	67	rspcev 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. om /\ suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
69	49, 65, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
70		suceq 4885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc z = suc ( 2o .o y ) )
71		suceq 4885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc z = suc ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
73	72	eqeq1d 2453	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( suc suc z = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
74	73	rexbidv 2855	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
75	69, 74	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
76	75	rexlimiv 2934	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) )
77	76	a1i 11	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
78	48, 77	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
79	78	con3d 133	. . . 4 |- ( z e. om -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
80		con1 128	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
81	79, 80	syl9 71	. . 3 |- ( z e. om -> ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
82	16, 23, 30, 37, 46, 81	finds 6605	. 2 |- ( A e. om -> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
83	9, 82	impbid2 204	1 |- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   E.wrex 2796   (/)c0 3738   Oncon0 4820   suc csuc 4822  (class class class)co 6193   omcom 6579   1oc1o 7016   2oc2o 7017   +o coa 7020   .o comu 7021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-omul 7028

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8677