Theorem nneob 7083

Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneob	|- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nneob

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6094	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o y ) )
2	1	eqeq2d 2449	. . . 4 |- ( x = y -> ( A = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o y ) ) )
3	2	cbvrexv 2943	. . 3 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om A = ( 2o .o y ) )
4		nnneo 7082	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ x e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
5	4	3com23 1193	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
6	5	3expa 1187	. . . . 5 |- ( ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
7	6	nrexdv 2814	. . . 4 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
8	7	rexlimiva 2831	. . 3 |- ( E. y e. om A = ( 2o .o y ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
9	3, 8	sylbi 195	. 2 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
10		suceq 4779	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
11	10	eqeq1d 2446	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
12	11	rexbidv 2731	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
13	12	notbid 294	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
14		eqeq1 2444	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( y = ( 2o .o x ) <-> (/) = ( 2o .o x ) ) )
15	14	rexbidv 2731	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) )
16	13, 15	imbi12d 320	. . 3 |- ( y = (/) -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) ) )
17		suceq 4779	. . . . . . 7 |- ( y = z -> suc y = suc z )
18	17	eqeq1d 2446	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
19	18	rexbidv 2731	. . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
20	19	notbid 294	. . . 4 |- ( y = z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
21		eqeq1 2444	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o x ) ) )
22	21	rexbidv 2731	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
23	20, 22	imbi12d 320	. . 3 |- ( y = z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) ) )
24		suceq 4779	. . . . . . 7 |- ( y = suc z -> suc y = suc suc z )
25	24	eqeq1d 2446	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
26	25	rexbidv 2731	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
27	26	notbid 294	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
28		eqeq1 2444	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
29	28	rexbidv 2731	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
30	27, 29	imbi12d 320	. . 3 |- ( y = suc z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
31		suceq 4779	. . . . . . 7 |- ( y = A -> suc y = suc A )
32	31	eqeq1d 2446	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc A = ( 2o .o x ) ) )
33	32	rexbidv 2731	. . . . 5 |- ( y = A -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
34	33	notbid 294	. . . 4 |- ( y = A -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
35		eqeq1 2444	. . . . 5 |- ( y = A -> ( y = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o x ) ) )
36	35	rexbidv 2731	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
37	34, 36	imbi12d 320	. . 3 |- ( y = A -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) ) )
38		peano1 6490	. . . . 5 |- (/) e. om
39		eqid 2438	. . . . 5 |- (/) = (/)
40		oveq2 6094	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o (/) ) )
41		om0x 6951	. . . . . . . 8 |- ( 2o .o (/) ) = (/)
42	40, 41	syl6eq 2486	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = (/) )
43	42	eqeq2d 2449	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) = ( 2o .o x ) <-> (/) = (/) ) )
44	43	rspcev 3068	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ (/) = (/) ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
45	38, 39, 44	mp2an 672	. . . 4 |- E. x e. om (/) = ( 2o .o x )
46	45	a1i 11	. . 3 |- ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
47	1	eqeq2d 2449	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( z = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o y ) ) )
48	47	cbvrexv 2943	. . . . . 6 |- ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om z = ( 2o .o y ) )
49		peano2 6491	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
50		2onn 7071	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
51		nnmsuc 7038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
52	50, 51	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
53		df-2o 6913	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
54	53	oveq2i 6097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) +o 2o ) = ( ( 2o .o y ) +o suc 1o )
55		nnmcl 7043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o y ) e. om )
56	50, 55	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( 2o .o y ) e. om )
57		1onn 7070	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. om
58		nnasuc 7037	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2o .o y ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
59	56, 57, 58	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
60	54, 59	syl5req 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
61		nnon 6477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. om -> ( 2o .o y ) e. On )
62		oa1suc 6963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. On -> ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) )
63		suceq 4779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
64	56, 61, 62, 63	4syl 21	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
65	52, 60, 64	3eqtr2rd 2477	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) )
66		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o suc y ) )
67	66	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) )
68	67	rspcev 3068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. om /\ suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
69	49, 65, 68	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
70		suceq 4779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc z = suc ( 2o .o y ) )
71		suceq 4779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc z = suc ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
73	72	eqeq1d 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( suc suc z = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
74	73	rexbidv 2731	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
75	69, 74	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
76	75	rexlimiv 2830	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) )
77	76	a1i 11	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
78	48, 77	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
79	78	con3d 133	. . . 4 |- ( z e. om -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
80		con1 128	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
81	79, 80	syl9 71	. . 3 |- ( z e. om -> ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
82	16, 23, 30, 37, 46, 81	finds 6497	. 2 |- ( A e. om -> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
83	9, 82	impbid2 204	1 |- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   (/)c0 3632   Oncon0 4714   suc csuc 4716  (class class class)co 6086   omcom 6471   1oc1o 6905   2oc2o 6906   +o coa 6909   .o comu 6910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8565