Theorem nneob 7352

Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneob	|- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nneob

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o y ) )
2	1	eqeq2d 2434	. . . 4 |- ( x = y -> ( A = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o y ) ) )
3	2	cbvrexv 3054	. . 3 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om A = ( 2o .o y ) )
4		nnneo 7351	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ x e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
5	4	3com23 1211	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
6	5	3expa 1205	. . . . 5 |- ( ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
7	6	nrexdv 2879	. . . 4 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
8	7	rexlimiva 2911	. . 3 |- ( E. y e. om A = ( 2o .o y ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
9	3, 8	sylbi 198	. 2 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
10		suceq 5498	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
11	10	eqeq1d 2422	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
12	11	rexbidv 2937	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
13	12	notbid 295	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
14		eqeq1 2424	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( y = ( 2o .o x ) <-> (/) = ( 2o .o x ) ) )
15	14	rexbidv 2937	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) )
16	13, 15	imbi12d 321	. . 3 |- ( y = (/) -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) ) )
17		suceq 5498	. . . . . . 7 |- ( y = z -> suc y = suc z )
18	17	eqeq1d 2422	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
19	18	rexbidv 2937	. . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
20	19	notbid 295	. . . 4 |- ( y = z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
21		eqeq1 2424	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o x ) ) )
22	21	rexbidv 2937	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
23	20, 22	imbi12d 321	. . 3 |- ( y = z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) ) )
24		suceq 5498	. . . . . . 7 |- ( y = suc z -> suc y = suc suc z )
25	24	eqeq1d 2422	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
26	25	rexbidv 2937	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
27	26	notbid 295	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
28		eqeq1 2424	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
29	28	rexbidv 2937	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
30	27, 29	imbi12d 321	. . 3 |- ( y = suc z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
31		suceq 5498	. . . . . . 7 |- ( y = A -> suc y = suc A )
32	31	eqeq1d 2422	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc A = ( 2o .o x ) ) )
33	32	rexbidv 2937	. . . . 5 |- ( y = A -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
34	33	notbid 295	. . . 4 |- ( y = A -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
35		eqeq1 2424	. . . . 5 |- ( y = A -> ( y = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o x ) ) )
36	35	rexbidv 2937	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
37	34, 36	imbi12d 321	. . 3 |- ( y = A -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) ) )
38		peano1 6717	. . . . 5 |- (/) e. om
39		eqid 2420	. . . . 5 |- (/) = (/)
40		oveq2 6304	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o (/) ) )
41		om0x 7220	. . . . . . . 8 |- ( 2o .o (/) ) = (/)
42	40, 41	syl6eq 2477	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = (/) )
43	42	eqeq2d 2434	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) = ( 2o .o x ) <-> (/) = (/) ) )
44	43	rspcev 3179	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ (/) = (/) ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
45	38, 39, 44	mp2an 676	. . . 4 |- E. x e. om (/) = ( 2o .o x )
46	45	a1i 11	. . 3 |- ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
47	1	eqeq2d 2434	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( z = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o y ) ) )
48	47	cbvrexv 3054	. . . . . 6 |- ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om z = ( 2o .o y ) )
49		peano2 6718	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
50		2onn 7340	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
51		nnmsuc 7307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
52	50, 51	mpan 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
53		df-2o 7182	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
54	53	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) +o 2o ) = ( ( 2o .o y ) +o suc 1o )
55		nnmcl 7312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o y ) e. om )
56	50, 55	mpan 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( 2o .o y ) e. om )
57		1onn 7339	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. om
58		nnasuc 7306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2o .o y ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
59	56, 57, 58	sylancl 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
60	54, 59	syl5req 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
61		nnon 6703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. om -> ( 2o .o y ) e. On )
62		oa1suc 7232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. On -> ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) )
63		suceq 5498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
64	56, 61, 62, 63	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
65	52, 60, 64	3eqtr2rd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) )
66		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o suc y ) )
67	66	eqeq2d 2434	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) )
68	67	rspcev 3179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. om /\ suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
69	49, 65, 68	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
70		suceq 5498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc z = suc ( 2o .o y ) )
71		suceq 5498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc z = suc ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
73	72	eqeq1d 2422	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( suc suc z = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
74	73	rexbidv 2937	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
75	69, 74	syl5ibrcom 225	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
76	75	rexlimiv 2909	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) )
77	76	a1i 11	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
78	48, 77	syl5bi 220	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
79	78	con3d 138	. . . 4 |- ( z e. om -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
80		con1 131	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
81	79, 80	syl9 73	. . 3 |- ( z e. om -> ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
82	16, 23, 30, 37, 46, 81	finds 6724	. 2 |- ( A e. om -> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
83	9, 82	impbid2 207	1 |- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1867   E.wrex 2774   (/)c0 3758   Oncon0 5433   suc csuc 5435  (class class class)co 6296   omcom 6697   1oc1o 7174   2oc2o 7175   +o coa 7178   .o comu 7179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8823