Theorem nneob 7371

Description: A natural number is even iff its successor is odd. (Contributed by NM, 26-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nneob	|- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nneob

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6316	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o y ) )
2	1	eqeq2d 2481	. . . 4 |- ( x = y -> ( A = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o y ) ) )
3	2	cbvrexv 3006	. . 3 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om A = ( 2o .o y ) )
4		nnneo 7370	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ x e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
5	4	3com23 1237	. . . . . 6 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
6	5	3expa 1231	. . . . 5 |- ( ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) /\ x e. om ) -> -. suc A = ( 2o .o x ) )
7	6	nrexdv 2842	. . . 4 |- ( ( y e. om /\ A = ( 2o .o y ) ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
8	7	rexlimiva 2868	. . 3 |- ( E. y e. om A = ( 2o .o y ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
9	3, 8	sylbi 200	. 2 |- ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) )
10		suceq 5495	. . . . . . 7 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
11	10	eqeq1d 2473	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
12	11	rexbidv 2892	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
13	12	notbid 301	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) ) )
14		eqeq1 2475	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( y = ( 2o .o x ) <-> (/) = ( 2o .o x ) ) )
15	14	rexbidv 2892	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) )
16	13, 15	imbi12d 327	. . 3 |- ( y = (/) -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) ) ) )
17		suceq 5495	. . . . . . 7 |- ( y = z -> suc y = suc z )
18	17	eqeq1d 2473	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
19	18	rexbidv 2892	. . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
20	19	notbid 301	. . . 4 |- ( y = z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
21		eqeq1 2475	. . . . 5 |- ( y = z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o x ) ) )
22	21	rexbidv 2892	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
23	20, 22	imbi12d 327	. . 3 |- ( y = z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) ) )
24		suceq 5495	. . . . . . 7 |- ( y = suc z -> suc y = suc suc z )
25	24	eqeq1d 2473	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
26	25	rexbidv 2892	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
27	26	notbid 301	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
28		eqeq1 2475	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( y = ( 2o .o x ) <-> suc z = ( 2o .o x ) ) )
29	28	rexbidv 2892	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
30	27, 29	imbi12d 327	. . 3 |- ( y = suc z -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
31		suceq 5495	. . . . . . 7 |- ( y = A -> suc y = suc A )
32	31	eqeq1d 2473	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( suc y = ( 2o .o x ) <-> suc A = ( 2o .o x ) ) )
33	32	rexbidv 2892	. . . . 5 |- ( y = A -> ( E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
34	33	notbid 301	. . . 4 |- ( y = A -> ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )
35		eqeq1 2475	. . . . 5 |- ( y = A -> ( y = ( 2o .o x ) <-> A = ( 2o .o x ) ) )
36	35	rexbidv 2892	. . . 4 |- ( y = A -> ( E. x e. om y = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
37	34, 36	imbi12d 327	. . 3 |- ( y = A -> ( ( -. E. x e. om suc y = ( 2o .o x ) -> E. x e. om y = ( 2o .o x ) ) <-> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) ) )
38		peano1 6731	. . . . 5 |- (/) e. om
39		eqid 2471	. . . . 5 |- (/) = (/)
40		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o (/) ) )
41		om0x 7239	. . . . . . . 8 |- ( 2o .o (/) ) = (/)
42	40, 41	syl6eq 2521	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( 2o .o x ) = (/) )
43	42	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( (/) = ( 2o .o x ) <-> (/) = (/) ) )
44	43	rspcev 3136	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ (/) = (/) ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
45	38, 39, 44	mp2an 686	. . . 4 |- E. x e. om (/) = ( 2o .o x )
46	45	a1i 11	. . 3 |- ( -. E. x e. om suc (/) = ( 2o .o x ) -> E. x e. om (/) = ( 2o .o x ) )
47	1	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( z = ( 2o .o x ) <-> z = ( 2o .o y ) ) )
48	47	cbvrexv 3006	. . . . . 6 |- ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) <-> E. y e. om z = ( 2o .o y ) )
49		peano2 6732	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc y e. om )
50		2onn 7359	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
51		nnmsuc 7326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
52	50, 51	mpan 684	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( 2o .o suc y ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
53		df-2o 7201	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
54	53	oveq2i 6319	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) +o 2o ) = ( ( 2o .o y ) +o suc 1o )
55		nnmcl 7331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 2o .o y ) e. om )
56	50, 55	mpan 684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( 2o .o y ) e. om )
57		1onn 7358	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. om
58		nnasuc 7325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2o .o y ) e. om /\ 1o e. om ) -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
59	56, 57, 58	sylancl 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( ( 2o .o y ) +o suc 1o ) = suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) )
60	54, 59	syl5req 2518	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = ( ( 2o .o y ) +o 2o ) )
61		nnon 6717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. om -> ( 2o .o y ) e. On )
62		oa1suc 7251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2o .o y ) e. On -> ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) )
63		suceq 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc ( 2o .o y ) -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
64	56, 61, 62, 63	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> suc ( ( 2o .o y ) +o 1o ) = suc suc ( 2o .o y ) )
65	52, 60, 64	3eqtr2rd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) )
66		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( 2o .o x ) = ( 2o .o suc y ) )
67	66	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = suc y -> ( suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) )
68	67	rspcev 3136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc y e. om /\ suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o suc y ) ) -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
69	49, 65, 68	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) )
70		suceq 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc z = suc ( 2o .o y ) )
71		suceq 5495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc z = suc ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 2o .o y ) -> suc suc z = suc suc ( 2o .o y ) )
73	72	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( suc suc z = ( 2o .o x ) <-> suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
74	73	rexbidv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2o .o y ) -> ( E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) <-> E. x e. om suc suc ( 2o .o y ) = ( 2o .o x ) ) )
75	69, 74	syl5ibrcom 230	. . . . . . . 8 |- ( y e. om -> ( z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
76	75	rexlimiv 2867	. . . . . . 7 |- ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) )
77	76	a1i 11	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( E. y e. om z = ( 2o .o y ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
78	48, 77	syl5bi 225	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) ) )
79	78	con3d 140	. . . 4 |- ( z e. om -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) )
80		con1 133	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) )
81	79, 80	syl9 72	. . 3 |- ( z e. om -> ( ( -. E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om z = ( 2o .o x ) ) -> ( -. E. x e. om suc suc z = ( 2o .o x ) -> E. x e. om suc z = ( 2o .o x ) ) ) )
82	16, 23, 30, 37, 46, 81	finds 6738	. 2 |- ( A e. om -> ( -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) -> E. x e. om A = ( 2o .o x ) ) )
83	9, 82	impbid2 209	1 |- ( A e. om -> ( E. x e. om A = ( 2o .o x ) <-> -. E. x e. om suc A = ( 2o .o x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   E.wrex 2757   (/)c0 3722   Oncon0 5430   suc csuc 5432  (class class class)co 6308   omcom 6711   1oc1o 7193   2oc2o 7194   +o coa 7197   .o comu 7198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  8852