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Theorem nneo 10956
Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nneo
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 10556 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 peano2cn 9763 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4 2cn 10618 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
6 2ne0 10640 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
83, 5, 7divcan2d 10334 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
91, 5, 7divcan2d 10334 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
109oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
118, 10eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
12 nnz 10898 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
13 nnz 10898 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
14 zneo 10955 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  ( N  /  2
)  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1615expcom 435 . . . 4  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( 2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =/=  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
1716necon2bd 2682 . . 3  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
1811, 17syl5com 30 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
19 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
j  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 ) )
2120eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
1  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
22 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
j  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
2322eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( 1  /  2 )  e.  NN ) )
2421, 23orbi12d 709 . . . 4  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( 1  /  2
)  e.  NN ) ) )
25 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2625oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
2726eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
28 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
j  /  2 )  =  ( k  / 
2 ) )
2928eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( k  /  2 )  e.  NN ) )
3027, 29orbi12d 709 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN ) ) )
31 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
3231oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 ) )
3332eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
34 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
3534eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
3633, 35orbi12d 709 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
37 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3837oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
3938eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
40 oveq1 6302 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
j  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
4140eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
4239, 41orbi12d 709 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) ) )
43 df-2 10606 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4443oveq1i 6305 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
)
45 2div2e1 10670 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  1
4644, 45eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  1
47 1nn 10559 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4846, 47eqeltri 2551 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN
4948orci 390 . . . 4  |-  ( ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  (
1  /  2 )  e.  NN )
50 peano2nn 10560 . . . . . . 7  |-  ( ( k  /  2 )  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  +  1 )  e.  NN )
51 nncn 10556 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
52 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
53 addass 9591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) ) )
5452, 52, 53mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) ) )
5543oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  +  2 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) )
5654, 55syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  2 ) )
5756oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  2 )  / 
2 ) )
58 2cnne0 10762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
59 divdir 10242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( k  +  2 )  / 
2 )  =  ( ( k  /  2
)  +  ( 2  /  2 ) ) )
604, 58, 59mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  /  2
) ) )
6145oveq2i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( k  / 
2 )  +  1 )
6260, 61syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6357, 62eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6451, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6564eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  /  2 )  +  1 )  e.  NN ) )
6650, 65syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
6766orim2d 838 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
68 orcom 387 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) )
6967, 68syl6ib 226 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
7024, 30, 36, 42, 49, 69nnind 10566 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) )
7170ord 377 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
7218, 71impbid 191 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    / cdiv 10218   NNcn 10548   2c2 10597   ZZcz 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877
This theorem is referenced by:  nneoi  10957  zeo  10958  ovolunlem1a  21775  ovolunlem1  21776
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