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Theorem nneo 10730
Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nneo
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 10335 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
2 peano2cn 9546 . . . . . 6  |-  ( N  e.  CC  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
4 2cn 10397 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  2  e.  CC )
6 2ne0 10419 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
83, 5, 7divcan2d 10114 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
91, 5, 7divcan2d 10114 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( N  /  2 ) )  =  N )
109oveq1d 6111 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  =  ( N  +  1 ) )
118, 10eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) )
12 nnz 10673 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
13 nnz 10673 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  ZZ )
14 zneo 10729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ  /\  ( N  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  /\  ( N  /  2
)  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( N  + 
1 )  /  2
) )  =/=  (
( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 ) )
1615expcom 435 . . . 4  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( 2  x.  ( ( N  +  1 )  /  2 ) )  =/=  ( ( 2  x.  ( N  / 
2 ) )  +  1 ) ) )
1716necon2bd 2665 . . 3  |-  ( ( N  /  2 )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
( N  +  1 )  /  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( N  /  2 ) )  +  1 )  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
1811, 17syl5com 30 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  ->  -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
19 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
j  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 ) )
2120eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
1  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
22 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
j  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
2322eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( 1  /  2 )  e.  NN ) )
2421, 23orbi12d 709 . . . 4  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( 1  /  2
)  e.  NN ) ) )
25 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2625oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
2726eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
28 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
j  /  2 )  =  ( k  / 
2 ) )
2928eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( k  /  2 )  e.  NN ) )
3027, 29orbi12d 709 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN ) ) )
31 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
3231oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 ) )
3332eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
34 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
3534eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
3633, 35orbi12d 709 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
37 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3837oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
3938eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
40 oveq1 6103 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
j  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
4140eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
4239, 41orbi12d 709 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) ) )
43 df-2 10385 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
4443oveq1i 6106 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
)
45 2div2e1 10449 . . . . . . 7  |-  ( 2  /  2 )  =  1
4644, 45eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  1
47 1nn 10338 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4846, 47eqeltri 2513 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN
4948orci 390 . . . 4  |-  ( ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  (
1  /  2 )  e.  NN )
50 peano2nn 10339 . . . . . . 7  |-  ( ( k  /  2 )  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  +  1 )  e.  NN )
51 nncn 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
52 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
53 addass 9374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) ) )
5452, 52, 53mp3an23 1306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) ) )
5543oveq2i 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  +  2 )  =  ( k  +  ( 1  +  1 ) )
5654, 55syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  2 ) )
5756oveq1d 6111 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  2 )  / 
2 ) )
58 2cnne0 10541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
59 divdir 10022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( k  +  2 )  / 
2 )  =  ( ( k  /  2
)  +  ( 2  /  2 ) ) )
604, 58, 59mp3an23 1306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  /  2
) ) )
6145oveq2i 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( k  / 
2 )  +  1 )
6260, 61syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6357, 62eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6451, 63syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
6564eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  /  2 )  +  1 )  e.  NN ) )
6650, 65syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
6766orim2d 836 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
68 orcom 387 . . . . 5  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) )
6967, 68syl6ib 226 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
7024, 30, 36, 42, 49, 69nnind 10345 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) )
7170ord 377 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -.  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
7218, 71impbid 191 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611  (class class class)co 6096   CCcc 9285   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   ZZcz 10651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652
This theorem is referenced by:  nneoi  10731  zeo  10732  ovolunlem1a  20984  ovolunlem1  20985
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