Theorem nneclOLD 5286

Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
nneclOLD	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ^o B) e. om)

Proof of Theorem nneclOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = (/) -> (A ^o x) = (A ^o (/)))
2	1	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = (/) -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o (/)) e. om))
3	2	imbi2d 674	. . 3 |- (x = (/) -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o (/)) e. om)))
4		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = y -> (A ^o x) = (A ^o y))
5	4	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = y -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o y) e. om))
6	5	imbi2d 674	. . 3 |- (x = y -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o y) e. om)))
7		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = suc y -> (A ^o x) = (A ^o suc y))
8	7	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = suc y -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o suc y) e. om))
9	8	imbi2d 674	. . 3 |- (x = suc y -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
10		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = B -> (A ^o x) = (A ^o B))
11	10	eleq1d 1963	. . . 4 |- (x = B -> ((A ^o x) e. om <-> (A ^o B) e. om))
12	11	imbi2d 674	. . 3 |- (x = B -> ((A e. om -> (A ^o x) e. om) <-> (A e. om -> (A ^o B) e. om)))
13		nnon 3957	. . . . 5 |- (A e. om -> A e. On)
14		oe0 5206	. . . . 5 |- (A e. On -> (A ^o (/)) = 1o)
15	13, 14	syl 12	. . . 4 |- (A e. om -> (A ^o (/)) = 1o)
16		df-1o 5177	. . . . 5 |- 1o = suc (/)
17		peano1 3971	. . . . . 6 |- (/) e. om
18		peano2 3972	. . . . . 6 |- ((/) e. om -> suc (/) e. om)
19	17, 18	ax-mp 7	. . . . 5 |- suc (/) e. om
20	16, 19	eqeltri 1967	. . . 4 |- 1o e. om
21	15, 20	syl6eqel 1979	. . 3 |- (A e. om -> (A ^o (/)) e. om)
22		oesuc 5211	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. On /\ y e. On) -> (A ^o suc y) = ((A ^o y) .o A))
23		nnon 3957	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> y e. On)
24	22, 13, 23	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (A ^o suc y) = ((A ^o y) .o A))
25	24	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- ((A e. om /\ y e. om) -> ((A ^o suc y) e. om <-> ((A ^o y) .o A) e. om))
26		nnmcl 5283	. . . . . . . . 9 |- (((A ^o y) e. om /\ A e. om) -> ((A ^o y) .o A) e. om)
27	25, 26	syl5bir 227	. . . . . . . 8 |- ((A e. om /\ y e. om) -> (((A ^o y) e. om /\ A e. om) -> (A ^o suc y) e. om))
28	27	exp4b 410	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (y e. om -> ((A ^o y) e. om -> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om))))
29	28	com24 41	. . . . . 6 |- (A e. om -> (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (y e. om -> (A ^o suc y) e. om))))
30	29	pm2.43i 78	. . . . 5 |- (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (y e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
31	30	com3r 39	. . . 4 |- (y e. om -> (A e. om -> ((A ^o y) e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
32	31	a2d 16	. . 3 |- (y e. om -> ((A e. om -> (A ^o y) e. om) -> (A e. om -> (A ^o suc y) e. om)))
33	3, 6, 9, 12, 21, 32	finds 3979	. 2 |- (B e. om -> (A e. om -> (A ^o B) e. om))
34	33	impcom 378	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A ^o B) e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949  (class class class)co 4884  1oc1o 5172   .o comu 5175   ^o coe 5176

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-oexp 5181

Copyright terms: Public domain