Theorem nnecl 7280

Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnecl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ^o B ) e. om )

Proof of Theorem nnecl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A ^o x ) = ( A ^o B ) )
2	1	eleq1d 2526	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A ^o x ) e. om <-> ( A ^o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 316	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A ^o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A ^o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
5	4	eleq1d 2526	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A ^o x ) e. om <-> ( A ^o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
7	6	eleq1d 2526	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A ^o x ) e. om <-> ( A ^o y ) e. om ) )
8		oveq2 6304	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
9	8	eleq1d 2526	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o x ) e. om <-> ( A ^o suc y ) e. om ) )
10		nnon 6705	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A e. On )
11		oe0 7190	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
12	10, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A ^o (/) ) = 1o )
13		df-1o 7148	. . . . . 6 |- 1o = suc (/)
14		peano1 6718	. . . . . . 7 |- (/) e. om
15		peano2 6719	. . . . . . 7 |- ( (/) e. om -> suc (/) e. om )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- suc (/) e. om
17	13, 16	eqeltri 2541	. . . . 5 |- 1o e. om
18	12, 17	syl6eqel 2553	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A ^o (/) ) e. om )
19		nnmcl 7279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. om )
20	19	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A ^o y ) e. om -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. om ) )
21	20	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ^o y ) e. om -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. om ) )
22		nnesuc 7275	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
23	22	eleq1d 2526	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ^o suc y ) e. om <-> ( ( A ^o y ) .o A ) e. om ) )
24	21, 23	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ^o y ) e. om -> ( A ^o suc y ) e. om ) )
25	24	expcom 435	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A ^o y ) e. om -> ( A ^o suc y ) e. om ) ) )
26	5, 7, 9, 18, 25	finds2 6727	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A ^o x ) e. om ) )
27	3, 26	vtoclga 3173	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A ^o B ) e. om ) )
28	27	impcom 430	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ^o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   (/)c0 3793   Oncon0 4887   suc csuc 4889  (class class class)co 6296   omcom 6699   1oc1o 7141   .o comu 7146   ^o coe 7147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154

This theorem is referenced by: (None)