Theorem nnecl 7314

Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
nnecl	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ^o B ) e. om )

Proof of Theorem nnecl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( x = B -> ( A ^o x ) = ( A ^o B ) )
2	1	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( A ^o x ) e. om <-> ( A ^o B ) e. om ) )
3	2	imbi2d 318	. . 3 |- ( x = B -> ( ( A e. om -> ( A ^o x ) e. om ) <-> ( A e. om -> ( A ^o B ) e. om ) ) )
4		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
5	4	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( A ^o x ) e. om <-> ( A ^o (/) ) e. om ) )
6		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
7	6	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( A ^o x ) e. om <-> ( A ^o y ) e. om ) )
8		oveq2 6298	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
9	8	eleq1d 2513	. . . 4 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o x ) e. om <-> ( A ^o suc y ) e. om ) )
10		nnon 6698	. . . . . 6 |- ( A e. om -> A e. On )
11		oe0 7224	. . . . . 6 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. om -> ( A ^o (/) ) = 1o )
13		df-1o 7182	. . . . . 6 |- 1o = suc (/)
14		peano1 6712	. . . . . . 7 |- (/) e. om
15		peano2 6713	. . . . . . 7 |- ( (/) e. om -> suc (/) e. om )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- suc (/) e. om
17	13, 16	eqeltri 2525	. . . . 5 |- 1o e. om
18	12, 17	syl6eqel 2537	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A ^o (/) ) e. om )
19		nnmcl 7313	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^o y ) e. om /\ A e. om ) -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. om )
20	19	expcom 437	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( A ^o y ) e. om -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. om ) )
21	20	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ^o y ) e. om -> ( ( A ^o y ) .o A ) e. om ) )
22		nnesuc 7309	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
23	22	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ^o suc y ) e. om <-> ( ( A ^o y ) .o A ) e. om ) )
24	21, 23	sylibrd 238	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( ( A ^o y ) e. om -> ( A ^o suc y ) e. om ) )
25	24	expcom 437	. . . 4 |- ( y e. om -> ( A e. om -> ( ( A ^o y ) e. om -> ( A ^o suc y ) e. om ) ) )
26	5, 7, 9, 18, 25	finds2 6721	. . 3 |- ( x e. om -> ( A e. om -> ( A ^o x ) e. om ) )
27	3, 26	vtoclga 3113	. 2 |- ( B e. om -> ( A e. om -> ( A ^o B ) e. om ) )
28	27	impcom 432	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A ^o B ) e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   (/)c0 3731   Oncon0 5423   suc csuc 5425  (class class class)co 6290   omcom 6692   1oc1o 7175   .o comu 7180   ^o coe 7181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-oexp 7188

This theorem is referenced by: (None)