MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnecl Structured version   Unicode version

Theorem nnecl 7280
Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnecl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnecl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  B
) )
21eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  ^o  x
)  e.  om  <->  ( A  ^o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  ^o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  (/) ) )
54eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  ^o  x )  e.  om  <->  ( A  ^o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  ^o  x )  =  ( A  ^o  y
) )
76eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  ^o  x
)  e.  om  <->  ( A  ^o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  ^o  x
)  =  ( A  ^o  suc  y ) )
98eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  ^o  x )  e.  om  <->  ( A  ^o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nnon 6705 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
11 oe0 7190 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  (/) )  =  1o )
13 df-1o 7148 . . . . . 6  |-  1o  =  suc  (/)
14 peano1 6718 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
15 peano2 6719 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  suc  (/)  e.  om )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  suc  (/)  e.  om
1713, 16eqeltri 2541 . . . . 5  |-  1o  e.  om
1812, 17syl6eqel 2553 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  (/) )  e.  om )
19 nnmcl 7279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ^o  y
)  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  e.  om )
2019expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  ^o  y
)  e.  om  ->  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  e.  om ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ^o  y )  e.  om  ->  ( ( A  ^o  y )  .o  A
)  e.  om )
)
22 nnesuc 7275 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  ^o  suc  y )  =  ( ( A  ^o  y
)  .o  A ) )
2322eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ^o  suc  y )  e.  om  <->  ( ( A  ^o  y
)  .o  A )  e.  om ) )
2421, 23sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  ^o  y )  e.  om  ->  ( A  ^o  suc  y )  e.  om ) )
2524expcom 435 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  ^o  y
)  e.  om  ->  ( A  ^o  suc  y
)  e.  om )
) )
265, 7, 9, 18, 25finds2 6727 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  x )  e.  om ) )
273, 26vtoclga 3173 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  ^o  B )  e.  om ) )
2827impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ^o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   (/)c0 3793   Oncon0 4887   suc csuc 4889  (class class class)co 6296   omcom 6699   1oc1o 7141    .o comu 7146    ^o coe 7147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator