MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndomo Structured version   Unicode version

Theorem nndomo 7616
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )

Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php2 7607 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
21ex 434 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) )
3 domnsym 7548 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
42, 3nsyli 141 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  C.  A ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  C.  A ) )
6 nnord 6595 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 nnord 6595 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
8 ordtri1 4861 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
9 ordelpss 4856 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  A )  ->  ( B  e.  A  <->  B  C.  A ) )
109ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( B  e.  A  <->  B  C.  A ) )
1110notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  B  C.  A ) )
128, 11bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  C.  A
) )
136, 7, 12syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  C.  A )
)
145, 13sylibrd 234 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  C_  B ) )
15 ssdomg 7466 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
1615adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
1714, 16impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758    C_ wss 3437    C. wpss 3438   class class class wbr 4401   Ord word 4827   omcom 6587    ~<_ cdom 7419    ~< csdm 7420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424
This theorem is referenced by:  nnsdomo  7617  omsucdomOLD  7618
  Copyright terms: Public domain W3C validator