MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndomo Structured version   Unicode version

Theorem nndomo 7770
Description: Cardinal ordering agrees with natural number ordering. Example 3 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 17-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
nndomo  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )

Proof of Theorem nndomo
StepHypRef Expression
1 php2 7761 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  C.  A )  ->  B  ~<  A )
21ex 436 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  C.  A  ->  B  ~<  A ) )
3 domnsym 7702 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
42, 3nsyli 147 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  C.  A ) )
54adantr 467 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  C.  A ) )
6 nnord 6712 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
7 nnord 6712 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
8 ordtri1 5473 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
9 ordelpss 5468 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  A )  ->  ( B  e.  A  <->  B  C.  A ) )
109ancoms 455 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( B  e.  A  <->  B  C.  A ) )
1110notbid 296 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  B  C.  A ) )
128, 11bitrd 257 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  C.  A
) )
136, 7, 12syl2an 480 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  C.  A )
)
145, 13sylibrd 238 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  C_  B ) )
15 ssdomg 7620 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
1615adantl 468 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
1714, 16impbid 194 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<_  B  <->  A  C_  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1869    C_ wss 3437    C. wpss 3438   class class class wbr 4421   Ord word 5439   omcom 6704    ~<_ cdom 7573    ~< csdm 7574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-om 6705  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578
This theorem is referenced by:  nnsdomo  7771
  Copyright terms: Public domain W3C validator