Theorem nndivtr 7144

Description: Transitive property of divisibility: if A divides B and B divides C, then A divides C. Typically C would be an integer, although the theorem holds for complex C.

Assertion

Ref	Expression
nndivtr	|- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) /\ ((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN)) -> (C / A) e. NN)

Proof of Theorem nndivtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 7113	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> B e. CC)
2	1	3ad2ant2 898	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> B e. CC)
3		simp3 878	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> C e. CC)
4		nncn 7113	. . . . . . . 8 |- (A e. NN -> A e. CC)
5		nnne0 7132	. . . . . . . 8 |- (A e. NN -> A =/= 0)
6	4, 5	jca 310	. . . . . . 7 |- (A e. NN -> (A e. CC /\ A =/= 0))
7	6	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (A e. CC /\ A =/= 0))
8		nnne0 7132	. . . . . . . 8 |- (B e. NN -> B =/= 0)
9	1, 8	jca 310	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> (B e. CC /\ B =/= 0))
10	9	3ad2ant2 898	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (B e. CC /\ B =/= 0))
11		divmul24 6959	. . . . . 6 |- (((B e. CC /\ C e. CC) /\ ((A e. CC /\ A =/= 0) /\ (B e. CC /\ B =/= 0))) -> ((B / A) x. (C / B)) = ((B / B) x. (C / A)))
12	2, 3, 7, 10, 11	syl22anc 1101	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / A) x. (C / B)) = ((B / B) x. (C / A)))
13		divid 6942	. . . . . . . 8 |- ((B e. CC /\ B =/= 0) -> (B / B) = 1)
14	1, 8, 13	syl11anc 524	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> (B / B) = 1)
15	14	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (B e. NN -> ((B / B) x. (C / A)) = (1 x. (C / A)))
16	15	3ad2ant2 898	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / B) x. (C / A)) = (1 x. (C / A)))
17		divcl 6901	. . . . . . . . . 10 |- ((C e. CC /\ A e. CC /\ A =/= 0) -> (C / A) e. CC)
18	17	3expb 1068	. . . . . . . . 9 |- ((C e. CC /\ (A e. CC /\ A =/= 0)) -> (C / A) e. CC)
19	18, 6	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- ((C e. CC /\ A e. NN) -> (C / A) e. CC)
20	19	ancoms 484	. . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ C e. CC) -> (C / A) e. CC)
21		mulid2 6578	. . . . . . 7 |- ((C / A) e. CC -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
22	20, 21	syl 12	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ C e. CC) -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
23	22	3adant2 895	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (1 x. (C / A)) = (C / A))
24	12, 16, 23	3eqtrd 1929	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> ((B / A) x. (C / B)) = (C / A))
25	24	eleq1d 1963	. . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (((B / A) x. (C / B)) e. NN <-> (C / A) e. NN))
26		nnmulcl 7124	. . 3 |- (((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN) -> ((B / A) x. (C / B)) e. NN)
27	25, 26	syl5bi 225	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) -> (((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN) -> (C / A) e. NN))
28	27	imp 377	1 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. CC) /\ ((B / A) e. NN /\ (C / B) e. NN)) -> (C / A) e. NN)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   / cdiv 6447  NNcn 6449

This theorem is referenced by:  permnn 8225  infpnlem1 8775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108

Copyright terms: Public domain