Theorem nndivsub 14258

Description: Please add description here.

Assertion

Ref	Expression
nndivsub	|- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ ((A / C) e. NN /\ A < B)) -> ((B / C) e. NN <-> ((B - A) / C) e. NN))

Proof of Theorem nndivsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 7110	. . . . . . . . 9 |- NN C_ RR
2		nngt0 7129	. . . . . . . . 9 |- (C e. NN -> 0 < C)
3		ltdiv1OLD 7032	. . . . . . . . 9 |- (((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) /\ 0 < C) -> (A < B <-> (A / C) < (B / C)))
4	1, 2, 3	nnssi3 14257	. . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> (A < B <-> (A / C) < (B / C)))
5		nnsub 7141	. . . . . . . 8 |- (((A / C) e. NN /\ (B / C) e. NN) -> ((A / C) < (B / C) <-> ((B / C) - (A / C)) e. NN))
6	4, 5	sylan9bb 599	. . . . . . 7 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ ((A / C) e. NN /\ (B / C) e. NN)) -> (A < B <-> ((B / C) - (A / C)) e. NN))
7	6	biimpd 170	. . . . . 6 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ ((A / C) e. NN /\ (B / C) e. NN)) -> (A < B -> ((B / C) - (A / C)) e. NN))
8	7	exp32 408	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> ((A / C) e. NN -> ((B / C) e. NN -> (A < B -> ((B / C) - (A / C)) e. NN))))
9	8	com34 40	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> ((A / C) e. NN -> (A < B -> ((B / C) e. NN -> ((B / C) - (A / C)) e. NN))))
10	9	imp32 390	. . 3 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ ((A / C) e. NN /\ A < B)) -> ((B / C) e. NN -> ((B / C) - (A / C)) e. NN))
11		nnaddcl 7123	. . . . . 6 |- ((((B / C) - (A / C)) e. NN /\ (A / C) e. NN) -> (((B / C) - (A / C)) + (A / C)) e. NN)
12	11	expcom 403	. . . . 5 |- ((A / C) e. NN -> (((B / C) - (A / C)) e. NN -> (((B / C) - (A / C)) + (A / C)) e. NN))
13		nnsscn 7111	. . . . . . . . . . 11 |- NN C_ CC
14		nnne0 7132	. . . . . . . . . . 11 |- (C e. NN -> C =/= 0)
15		divcl 6901	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0) -> (A / C) e. CC)
16	13, 14, 15	nnssi2 14256	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. NN /\ C e. NN) -> (A / C) e. CC)
17		divcl 6901	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. CC /\ C e. CC /\ C =/= 0) -> (B / C) e. CC)
18	13, 14, 17	nnssi2 14256	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. NN /\ C e. NN) -> (B / C) e. CC)
19	16, 18	anim12i 360	. . . . . . . . 9 |- (((A e. NN /\ C e. NN) /\ (B e. NN /\ C e. NN)) -> ((A / C) e. CC /\ (B / C) e. CC))
20	19	3impdir 1153	. . . . . . . 8 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> ((A / C) e. CC /\ (B / C) e. CC))
21		npcan 6559	. . . . . . . . 9 |- (((B / C) e. CC /\ (A / C) e. CC) -> (((B / C) - (A / C)) + (A / C)) = (B / C))
22	21	ancoms 484	. . . . . . . 8 |- (((A / C) e. CC /\ (B / C) e. CC) -> (((B / C) - (A / C)) + (A / C)) = (B / C))
23	20, 22	syl 12	. . . . . . 7 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> (((B / C) - (A / C)) + (A / C)) = (B / C))
24	23	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> ((((B / C) - (A / C)) + (A / C)) e. NN <-> (B / C) e. NN))
25	24	biimpd 170	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> ((((B / C) - (A / C)) + (A / C)) e. NN -> (B / C) e. NN))
26	12, 25	sylan9r 519	. . . 4 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ (A / C) e. NN) -> (((B / C) - (A / C)) e. NN -> (B / C) e. NN))
27	26	adantrr 431	. . 3 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ ((A / C) e. NN /\ A < B)) -> (((B / C) - (A / C)) e. NN -> (B / C) e. NN))
28	10, 27	impbid 574	. 2 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ ((A / C) e. NN /\ A < B)) -> ((B / C) e. NN <-> ((B / C) - (A / C)) e. NN))
29		nncn 7113	. . . . . 6 |- (B e. NN -> B e. CC)
30	29	3ad2ant2 898	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> B e. CC)
31		nncn 7113	. . . . . 6 |- (A e. NN -> A e. CC)
32	31	3ad2ant1 897	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> A e. CC)
33		nncn 7113	. . . . . . 7 |- (C e. NN -> C e. CC)
34	33, 14	jca 310	. . . . . 6 |- (C e. NN -> (C e. CC /\ C =/= 0))
35	34	3ad2ant3 899	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> (C e. CC /\ C =/= 0))
36		divsubdir 6951	. . . . 5 |- ((B e. CC /\ A e. CC /\ (C e. CC /\ C =/= 0)) -> ((B - A) / C) = ((B / C) - (A / C)))
37	30, 32, 35, 36	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> ((B - A) / C) = ((B / C) - (A / C)))
38	37	eleq1d 1963	. . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) -> (((B - A) / C) e. NN <-> ((B / C) - (A / C)) e. NN))
39	38	adantr 425	. 2 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ ((A / C) e. NN /\ A < B)) -> (((B - A) / C) e. NN <-> ((B / C) - (A / C)) e. NN))
40	28, 39	bitr4d 590	1 |- (((A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN) /\ ((A / C) e. NN /\ A < B)) -> ((B / C) e. NN <-> ((B - A) / C) e. NN))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445   / cdiv 6447  NNcn 6449   < clt 6653

This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD 14262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108

Copyright terms: Public domain