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Theorem nndivsub 29485
Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivsub  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  -  A )  /  C )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nndivsub
StepHypRef Expression
1 nnre 10532 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnre 10532 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
3 nnre 10532 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
4 nngt0 10554 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
53, 4jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
6 ltdiv1 10395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
71, 2, 5, 6syl3an 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
8 nnsub 10563 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  C
)  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN )  ->  ( ( A  /  C )  < 
( B  /  C
)  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
97, 8sylan9bb 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
109biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN ) )  ->  ( A  <  B  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
1110exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  NN  ->  ( ( B  /  C
)  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN ) ) ) )
1211com34 83 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( ( B  /  C )  e.  NN  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN ) ) ) )
1312imp32 433 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
14 nnaddcl 10547 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  /\  ( A  /  C )  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN )
1514expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( A  /  C )  e.  NN  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN ) )
16 nnsscn 10530 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  C_  CC
17 nnne0 10557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  NN  ->  C  =/=  0 )
18 divcl 10202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  CC )
1916, 17, 18nnssi2 29483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  /  C
)  e.  CC )
20 divcl 10202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
2116, 17, 20nnssi2 29483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  C
)  e.  CC )
2219, 21anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN ) )  -> 
( ( A  /  C )  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC ) )
23223impdir 1279 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC ) )
24 npcan 9818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  C
)  e.  CC  /\  ( A  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C
) )  =  ( B  /  C ) )
2524ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  C
)  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C
) )  =  ( B  /  C ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  =  ( B  /  C
) )
2726eleq1d 2529 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN  <->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
2827biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
2915, 28sylan9r 658 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( A  /  C
)  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
3029adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( (
( B  /  C
)  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
3113, 30impbid 191 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
32 nncn 10533 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
33323ad2ant2 1013 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
34 nncn 10533 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
35343ad2ant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
36 nncn 10533 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
3736, 17jca 532 . . . . . 6  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
38373ad2ant3 1014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
39 divsubdir 10229 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  -  A )  /  C
)  =  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) ) )
4033, 35, 38, 39syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  -  A
)  /  C )  =  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) ) )
4140eleq1d 2529 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( B  -  A )  /  C
)  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
4241adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( (
( B  -  A
)  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
4331, 42bitr4d 256 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  -  A )  /  C )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    < clt 9617    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526
This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  29489
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