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Theorem nndivsub 29898
Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivsub  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  -  A )  /  C )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nndivsub
StepHypRef Expression
1 nnre 10550 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnre 10550 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
3 nnre 10550 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
4 nngt0 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
53, 4jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
6 ltdiv1 10413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
71, 2, 5, 6syl3an 1271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
8 nnsub 10581 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  C
)  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN )  ->  ( ( A  /  C )  < 
( B  /  C
)  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
97, 8sylan9bb 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
109biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN ) )  ->  ( A  <  B  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
1110exp32 605 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  NN  ->  ( ( B  /  C
)  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN ) ) ) )
1211com34 83 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( ( B  /  C )  e.  NN  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN ) ) ) )
1312imp32 433 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
14 nnaddcl 10565 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  /\  ( A  /  C )  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN )
1514expcom 435 . . . . 5  |-  ( ( A  /  C )  e.  NN  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN ) )
16 nnsscn 10548 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  C_  CC
17 nnne0 10575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  NN  ->  C  =/=  0 )
18 divcl 10220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  CC )
1916, 17, 18nnssi2 29896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  /  C
)  e.  CC )
20 divcl 10220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
2116, 17, 20nnssi2 29896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  C
)  e.  CC )
2219, 21anim12i 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN ) )  -> 
( ( A  /  C )  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC ) )
23223impdir 1285 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC ) )
24 npcan 9834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  C
)  e.  CC  /\  ( A  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C
) )  =  ( B  /  C ) )
2524ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  C
)  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C
) )  =  ( B  /  C ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  =  ( B  /  C
) )
2726eleq1d 2512 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN  <->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
2827biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
2915, 28sylan9r 658 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( A  /  C
)  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
3029adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( (
( B  /  C
)  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
3113, 30impbid 191 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
32 nncn 10551 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
33323ad2ant2 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
34 nncn 10551 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
35343ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
36 nncn 10551 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
3736, 17jca 532 . . . . . 6  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
38373ad2ant3 1020 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
39 divsubdir 10247 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  -  A )  /  C
)  =  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) ) )
4033, 35, 38, 39syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  -  A
)  /  C )  =  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) ) )
4140eleq1d 2512 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( B  -  A )  /  C
)  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
4241adantr 465 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( (
( B  -  A
)  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
4331, 42bitr4d 256 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  -  A )  /  C )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498    < clt 9631    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544
This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  29902
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