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Theorem nndivsub 30899
Description: Please add description here. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivsub  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  -  A )  /  C )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nndivsub
StepHypRef Expression
1 nnre 10605 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
2 nnre 10605 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
3 nnre 10605 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
4 nngt0 10627 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
53, 4jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
6 ltdiv1 10458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
71, 2, 5, 6syl3an 1306 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  C )  <  ( B  /  C ) ) )
8 nnsub 10637 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  C
)  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN )  ->  ( ( A  /  C )  < 
( B  /  C
)  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
97, 8sylan9bb 704 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN ) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
109biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  ( B  /  C
)  e.  NN ) )  ->  ( A  <  B  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
1110exp32 608 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  NN  ->  ( ( B  /  C
)  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN ) ) ) )
1211com34 86 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  NN  ->  ( A  <  B  -> 
( ( B  /  C )  e.  NN  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN ) ) ) )
1312imp32 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  ->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
14 nnaddcl 10620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  /\  ( A  /  C )  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN )
1514expcom 436 . . . . 5  |-  ( ( A  /  C )  e.  NN  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN ) )
16 nnsscn 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  C_  CC
17 nnne0 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  NN  ->  C  =/=  0 )
18 divcl 10265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  C  =/=  0 )  ->  ( A  /  C )  e.  CC )
1916, 17, 18nnssi2 30897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  /  C
)  e.  CC )
20 divcl 10265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  C  =/=  0 )  ->  ( B  /  C )  e.  CC )
2116, 17, 20nnssi2 30897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  C
)  e.  CC )
2219, 21anim12i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN ) )  -> 
( ( A  /  C )  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC ) )
23223impdir 1320 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  C
)  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC ) )
24 npcan 9873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  /  C
)  e.  CC  /\  ( A  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C
) )  =  ( B  /  C ) )
2524ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  C
)  e.  CC  /\  ( B  /  C
)  e.  CC )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C
) )  =  ( B  /  C ) )
2623, 25syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  +  ( A  /  C ) )  =  ( B  /  C
) )
2726eleq1d 2489 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN  <->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
2827biimpd 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  +  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
2915, 28sylan9r 662 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( A  /  C
)  e.  NN )  ->  ( ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
3029adantrr 721 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( (
( B  /  C
)  -  ( A  /  C ) )  e.  NN  ->  ( B  /  C )  e.  NN ) )
3113, 30impbid 193 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
32 nncn 10606 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
33323ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
34 nncn 10606 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
35343ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
36 nncn 10606 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
3736, 17jca 534 . . . . . 6  |-  ( C  e.  NN  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
38373ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
39 divsubdir 10292 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  -  A )  /  C
)  =  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C ) ) )
4033, 35, 38, 39syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  -  A
)  /  C )  =  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) ) )
4140eleq1d 2489 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( B  -  A )  /  C
)  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
4241adantr 466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( (
( B  -  A
)  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  /  C )  -  ( A  /  C
) )  e.  NN ) )
4331, 42bitr4d 259 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A  /  C )  e.  NN  /\  A  <  B ) )  ->  ( ( B  /  C )  e.  NN  <->  ( ( B  -  A )  /  C )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528    + caddc 9531    < clt 9664    - cmin 9849    / cdiv 10258   NNcn 10598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599
This theorem is referenced by:  ee7.2aOLD  30903
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