MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Unicode version

Theorem nndivre 10578
Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 10550 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 10575 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 532 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 10270 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1198 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 474 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804    =/= wne 2638  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495    / cdiv 10213   NNcn 10543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544
This theorem is referenced by:  nnrecre  10579  nndivred  10591  fldiv2  11970  zmodcl  11997  iexpcyc  12254  sqrlem7  13064  expcnv  13657  ef01bndlem  13901  sin01bnd  13902  cos01bnd  13903  rpnnen2lem2  13931  rpnnen2lem3  13932  rpnnen2lem4  13933  rpnnen2lem9  13938  fldivp1  14398  ovoliunlem1  21891  dyadf  21978  dyadovol  21980  mbfi1fseqlem3  22102  mbfi1fseqlem4  22103  dveflem  22358  plyeq0lem  22585  tangtx  22876  tan4thpi  22885  root1id  23106  root1eq1  23107  root1cj  23108  cxpeq  23109  1cubrlem  23150  atan1  23237  log2tlbnd  23254  log2ublem1  23255  log2ublem2  23256  log2ub  23258  birthdaylem3  23261  birthday  23262  basellem5  23336  basellem8  23339  ppiub  23457  logfac2  23470  dchrptlem1  23517  dchrptlem2  23518  bposlem3  23539  bposlem4  23540  bposlem5  23541  bposlem6  23542  bposlem9  23545  vmadivsum  23645  dchrisum0lem1a  23649  dchrmusum2  23657  dchrvmasum2if  23660  dchrvmasumlem2  23661  dchrvmasumiflem1  23664  dchrvmasumiflem2  23665  dchrisum0re  23676  dchrisum0lem1b  23678  dchrisum0lem1  23679  dchrvmasumlem  23686  rplogsum  23690  mudivsum  23693  selberg2  23714  chpdifbndlem1  23716  selberg3lem1  23720  selbergr  23731  pntlemb  23760  pntlemg  23761  pntlemf  23768  snmlff  28752  sinccvglem  29016  circum  29018
  Copyright terms: Public domain W3C validator