MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Unicode version

Theorem nndivre 10562
Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 10534 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 10559 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 532 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 10254 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1192 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 474 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    =/= wne 2657  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    / cdiv 10197   NNcn 10527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528
This theorem is referenced by:  nnrecre  10563  nndivred  10575  fldiv2  11946  zmodcl  11973  iexpcyc  12229  sqrlem7  13034  expcnv  13629  ef01bndlem  13771  sin01bnd  13772  cos01bnd  13773  rpnnen2lem2  13801  rpnnen2lem3  13802  rpnnen2lem4  13803  rpnnen2lem9  13808  fldivp1  14266  ovoliunlem1  21643  dyadf  21730  dyadovol  21732  mbfi1fseqlem3  21854  mbfi1fseqlem4  21855  dveflem  22110  plyeq0lem  22337  tangtx  22626  tan4thpi  22635  root1id  22851  root1eq1  22852  root1cj  22853  cxpeq  22854  1cubrlem  22895  atan1  22982  log2tlbnd  22999  log2ublem1  23000  log2ublem2  23001  log2ub  23003  birthdaylem3  23006  birthday  23007  basellem5  23081  basellem8  23084  ppiub  23202  logfac2  23215  dchrptlem1  23262  dchrptlem2  23263  bposlem3  23284  bposlem4  23285  bposlem5  23286  bposlem6  23287  bposlem9  23290  vmadivsum  23390  dchrisum0lem1a  23394  dchrmusum2  23402  dchrvmasum2if  23405  dchrvmasumlem2  23406  dchrvmasumiflem1  23409  dchrvmasumiflem2  23410  dchrisum0re  23421  dchrisum0lem1b  23423  dchrisum0lem1  23424  dchrvmasumlem  23431  rplogsum  23435  mudivsum  23438  selberg2  23459  chpdifbndlem1  23461  selberg3lem1  23465  selbergr  23476  pntlemb  23505  pntlemg  23506  pntlemf  23513  snmlff  28402  sinccvglem  28501  circum  28503
  Copyright terms: Public domain W3C validator