MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Unicode version

Theorem nndivre 10614
Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 10585 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 10611 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 532 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 10306 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1200 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 474 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1844    =/= wne 2600  (class class class)co 6280   RRcr 9523   0cc0 9524    / cdiv 10249   NNcn 10578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579
This theorem is referenced by:  nnrecre  10615  nndivred  10627  fldiv2  12028  zmodcl  12056  iexpcyc  12319  sqrlem7  13233  expcnv  13829  ef01bndlem  14130  sin01bnd  14131  cos01bnd  14132  rpnnen2lem2  14160  rpnnen2lem3  14161  rpnnen2lem4  14162  rpnnen2lem9  14167  fldivp1  14627  ovoliunlem1  22207  dyadf  22294  dyadovol  22296  mbfi1fseqlem3  22418  mbfi1fseqlem4  22419  dveflem  22674  plyeq0lem  22901  tangtx  23192  tan4thpi  23201  root1id  23426  root1eq1  23427  root1cj  23428  cxpeq  23429  1cubrlem  23499  atan1  23586  log2tlbnd  23603  log2ublem1  23604  log2ublem2  23605  log2ub  23607  birthdaylem3  23611  birthday  23612  basellem5  23741  basellem8  23744  ppiub  23862  logfac2  23875  dchrptlem1  23922  dchrptlem2  23923  bposlem3  23944  bposlem4  23945  bposlem5  23946  bposlem6  23947  bposlem9  23950  vmadivsum  24050  dchrisum0lem1a  24054  dchrmusum2  24062  dchrvmasum2if  24065  dchrvmasumlem2  24066  dchrvmasumiflem1  24069  dchrvmasumiflem2  24070  dchrisum0re  24081  dchrisum0lem1b  24083  dchrisum0lem1  24084  dchrvmasumlem  24091  rplogsum  24095  mudivsum  24098  selberg2  24119  chpdifbndlem1  24121  selberg3lem1  24125  selbergr  24136  pntlemb  24165  pntlemg  24166  pntlemf  24173  snmlff  29639  sinccvglem  29903  circum  29905
  Copyright terms: Public domain W3C validator