MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Unicode version

Theorem nndivre 10378
Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 10350 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 10375 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 532 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 10071 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1188 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 474 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2620  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    / cdiv 10014   NNcn 10343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344
This theorem is referenced by:  nnrecre  10379  nndivred  10391  fldiv2  11721  zmodcl  11748  iexpcyc  11991  sqrlem7  12759  expcnv  13347  ef01bndlem  13489  sin01bnd  13490  cos01bnd  13491  rpnnen2lem2  13519  rpnnen2lem3  13520  rpnnen2lem4  13521  rpnnen2lem9  13526  fldivp1  13980  ovoliunlem1  21007  dyadf  21093  dyadovol  21095  mbfi1fseqlem3  21217  mbfi1fseqlem4  21218  dveflem  21473  plyeq0lem  21700  tangtx  21989  tan4thpi  21998  root1id  22214  root1eq1  22215  root1cj  22216  cxpeq  22217  1cubrlem  22258  atan1  22345  log2tlbnd  22362  log2ublem1  22363  log2ublem2  22364  log2ub  22366  birthdaylem3  22369  birthday  22370  basellem5  22444  basellem8  22447  ppiub  22565  logfac2  22578  dchrptlem1  22625  dchrptlem2  22626  bposlem3  22647  bposlem4  22648  bposlem5  22649  bposlem6  22650  bposlem9  22653  vmadivsum  22753  dchrisum0lem1a  22757  dchrmusum2  22765  dchrvmasum2if  22768  dchrvmasumlem2  22769  dchrvmasumiflem1  22772  dchrvmasumiflem2  22773  dchrisum0re  22784  dchrisum0lem1b  22786  dchrisum0lem1  22787  dchrvmasumlem  22794  rplogsum  22798  mudivsum  22801  selberg2  22822  chpdifbndlem1  22824  selberg3lem1  22828  selbergr  22839  pntlemb  22868  pntlemg  22869  pntlemf  22876  snmlff  27240  sinccvglem  27339  circum  27341
  Copyright terms: Public domain W3C validator