MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Unicode version

Theorem nndivre 10345
Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 10317 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
2 nnne0 10342 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
31, 2jca 529 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )
4 redivcl 10038 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
543expb 1181 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  N  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  N )  e.  RR )
63, 5sylan2 471 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  /  N
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755    =/= wne 2596  (class class class)co 6080   RRcr 9269   0cc0 9270    / cdiv 9981   NNcn 10310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311
This theorem is referenced by:  nnrecre  10346  nndivred  10358  fldiv2  11684  zmodcl  11711  iexpcyc  11954  sqrlem7  12722  expcnv  13309  ef01bndlem  13451  sin01bnd  13452  cos01bnd  13453  rpnnen2lem2  13481  rpnnen2lem3  13482  rpnnen2lem4  13483  rpnnen2lem9  13488  fldivp1  13942  ovoliunlem1  20827  dyadf  20913  dyadovol  20915  mbfi1fseqlem3  21037  mbfi1fseqlem4  21038  dveflem  21293  plyeq0lem  21563  tangtx  21852  tan4thpi  21861  root1id  22077  root1eq1  22078  root1cj  22079  cxpeq  22080  1cubrlem  22121  atan1  22208  log2tlbnd  22225  log2ublem1  22226  log2ublem2  22227  log2ub  22229  birthdaylem3  22232  birthday  22233  basellem5  22307  basellem8  22310  ppiub  22428  logfac2  22441  dchrptlem1  22488  dchrptlem2  22489  bposlem3  22510  bposlem4  22511  bposlem5  22512  bposlem6  22513  bposlem9  22516  vmadivsum  22616  dchrisum0lem1a  22620  dchrmusum2  22628  dchrvmasum2if  22631  dchrvmasumlem2  22632  dchrvmasumiflem1  22635  dchrvmasumiflem2  22636  dchrisum0re  22647  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem1  22650  dchrvmasumlem  22657  rplogsum  22661  mudivsum  22664  selberg2  22685  chpdifbndlem1  22687  selberg3lem1  22691  selbergr  22702  pntlemb  22731  pntlemg  22732  pntlemf  22739  snmlff  27066  sinccvglem  27164  circum  27166
  Copyright terms: Public domain W3C validator