Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hoffman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nndivlub Structured version   Unicode version

Theorem nndivlub 30116
Description: A factor of a positive integer cannot exceed it. (Contributed by Jeff Hoffman, 17-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivlub  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  e.  NN  ->  B  <_  A )
)

Proof of Theorem nndivlub
StepHypRef Expression
1 nnre 10481 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
2 nngt0 10503 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
31, 2jca 530 . 2  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
4 nnre 10481 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
5 nngt0 10503 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
64, 5jca 530 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
7 nnge1 10500 . . 3  |-  ( ( A  /  B )  e.  NN  ->  1  <_  ( A  /  B
) )
8 lediv2 10373 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( B  <_  A  <->  ( A  /  A )  <_  ( A  /  B ) ) )
983anidm23 1285 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( B  <_  A  <->  ( A  /  A )  <_  ( A  /  B ) ) )
10 recn 9515 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1110adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
12 gt0ne0 9957 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
13 divid 10173 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  /  A
)  =  1 )
1413breq1d 4394 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( A  /  A )  <_  ( A  /  B )  <->  1  <_  ( A  /  B ) ) )
1511, 12, 14syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( ( A  /  A )  <_  ( A  /  B )  <->  1  <_  ( A  /  B ) ) )
1615adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( A  /  A )  <_  ( A  /  B )  <->  1  <_  ( A  /  B ) ) )
179, 16bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( B  <_  A  <->  1  <_  ( A  /  B ) ) )
187, 17syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( A  /  B )  e.  NN  ->  B  <_  A )
)
193, 6, 18syl2anr 476 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  e.  NN  ->  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1836    =/= wne 2591   class class class wbr 4384  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424   0cc0 9425   1c1 9426    < clt 9561    <_ cle 9562    / cdiv 10145   NNcn 10474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator