MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivdvds Structured version   Unicode version

Theorem nndivdvds 13842
Description: Strong form of dvdsval2 13839 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndivdvds  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  NN ) )

Proof of Theorem nndivdvds
StepHypRef Expression
1 nnz 10875 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
3 nnne0 10557 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  =/=  0 )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  =/=  0 )
5 nnz 10875 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
7 dvdsval2 13839 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
82, 4, 6, 7syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  ZZ ) )
98anbi1d 704 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( B  ||  A  /\  0  <  ( A  /  B ) )  <-> 
( ( A  /  B )  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
10 nnre 10532 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
12 nnre 10532 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
1312adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
14 nngt0 10554 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  A )
16 nngt0 10554 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  B )
1811, 13, 15, 17divgt0d 10470 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  0  <  ( A  /  B ) )
1918biantrud 507 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( B  ||  A  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
20 elnnz 10863 . . 3  |-  ( ( A  /  B )  e.  NN  <->  ( ( A  /  B )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A  /  B
) ) )
2120a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  e.  NN  <->  ( ( A  /  B
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  B ) ) ) )
229, 19, 213bitr4d 285 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  ||  A  <->  ( A  /  B )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617    / cdiv 10195   NNcn 10525   ZZcz 10853    || cdivides 13836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-z 10854  df-dvds 13837
This theorem is referenced by:  isprm6  14098  divnumden  14129  gexexlem  16644  ablfac1lem  16902  pgpfac1lem3a  16910  znrrg  18364  dvdsflf1o  23184  mersenne  23223  perfectlem1  23225  perfect  23227  dchrvmasumlem1  23401  dchrisum0flblem2  23415  logsqvma  23448  oddpwdc  27783  jm2.20nn  30396  jm2.27c  30406  hashgcdlem  30615  hashgcdeq  30616  fouriersw  31351
  Copyright terms: Public domain W3C validator