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Theorem nndiffz1 28359
Description: Upper set of the positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nndiffz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem nndiffz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10964 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
2 nn0z 10957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
41, 2, 3sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j  /\  j  <_  N ) ) )
5 3anass 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
64, 5syl6bb 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) ) )
76baibd 919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
87baibd 919 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( j  e.  ( 1 ... N
)  <->  j  <_  N
) )
98notbid 296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  -.  j  <_  N ) )
10 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1110zred 11037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
12 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ZZ )
1312zred 11037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  RR )
1411, 13ltnled 9779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  -.  j  <_  N )
)
15 zltp1le 10983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  ( N  +  1 )  <_  j ) )
1614, 15bitr3d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
172, 16sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
1817adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
199, 18bitrd 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
2019pm5.32da 646 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1 )  <_  j ) ) )
21 1red 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  e.  RR )
22 simpll 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  NN0 )
2322nn0red 10923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  RR )
2423, 21readdcld 9667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
25 simplr 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  ZZ )
2625zred 11037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  RR )
27 0p1e1 10718 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
28 0red 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  e.  RR )
2922nn0ge0d 10925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  <_  N )
3028, 23, 21, 29leadd1dd 10224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( 0  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) )
3127, 30syl5eqbrr 4436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
32 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  <_ 
j )
3321, 24, 26, 31, 32letrd 9789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  j )
3433ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  ->  1  <_  j )
)
3534pm4.71rd 640 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1
)  <_  j )
) )
3620, 35bitr4d 260 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
3736pm5.32da 646 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
38 eldif 3413 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) ) )
39 elnnz1 10960 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
4039anbi1i 700 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )
41 anass 654 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4238, 40, 413bitri 275 . . . 4  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4342a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) ) )
44 peano2nn0 10907 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4544nn0zd 11035 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
46 eluz1 11160 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
4745, 46syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
4837, 43, 473bitr4d 289 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
4948eqrdv 2448 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    \ cdif 3400   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673   NNcn 10606   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ZZ>=cuz 11156   ...cfz 11781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  29186  eulerpartlemsv3  29187  eulerpartlemgc  29188
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