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Theorem nndiffz1 27410
Description: Upper set of the positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nndiffz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem nndiffz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10906 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
2 nn0z 10899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j  /\  j  <_  N ) ) )
5 3anass 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
64, 5syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) ) )
76baibd 907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
87baibd 907 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( j  e.  ( 1 ... N
)  <->  j  <_  N
) )
98notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  -.  j  <_  N ) )
10 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1110zred 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ZZ )
1312zred 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  RR )
1411, 13ltnled 9743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  -.  j  <_  N )
)
15 zltp1le 10924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  ( N  +  1 )  <_  j ) )
1614, 15bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
172, 16sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
199, 18bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
2019pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1 )  <_  j ) ) )
21 1re 9607 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  e.  RR )
23 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  NN0 )
2423nn0red 10865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  RR )
2524, 22readdcld 9635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
26 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  ZZ )
2726zred 10978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  RR )
28 0p1e1 10659 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
29 0re 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  e.  RR )
3123nn0ge0d 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  <_  N )
3230, 24, 22, 31leadd1dd 10178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( 0  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) )
3328, 32syl5eqbrr 4487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  <_ 
j )
3522, 25, 27, 33, 34letrd 9750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  j )
3635ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  ->  1  <_  j )
)
3736pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1
)  <_  j )
) )
3837bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
3920, 38bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
4039pm5.32da 641 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
41 eldif 3491 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) ) )
42 elnnz1 10902 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
4342anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )
44 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4541, 43, 443bitri 271 . . . 4  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4645a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) ) )
47 peano2nn0 10848 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4847nn0zd 10976 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
49 eluz1 11098 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
5048, 49syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
5140, 46, 503bitr4d 285 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
5251eqrdv 2464 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  28115  eulerpartlemsv3  28116  eulerpartlemgc  28117
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