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Theorem nndiffz1 26240
Description: Upper set of the positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nndiffz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem nndiffz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10790 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
2 nn0z 10783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j  /\  j  <_  N ) ) )
5 3anass 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
64, 5syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) ) )
76baibd 900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
87baibd 900 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( j  e.  ( 1 ... N
)  <->  j  <_  N
) )
98notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  -.  j  <_  N ) )
10 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1110zred 10861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ZZ )
1312zred 10861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  RR )
1411, 13ltnled 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  -.  j  <_  N )
)
15 zltp1le 10808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  ( N  +  1 )  <_  j ) )
1614, 15bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
172, 16sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
199, 18bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
2019pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1 )  <_  j ) ) )
21 1re 9499 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  e.  RR )
23 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  NN0 )
2423nn0red 10751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  RR )
2524, 22readdcld 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
26 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  ZZ )
2726zred 10861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  RR )
28 0p1e1 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
29 0re 9500 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  e.  RR )
3123nn0ge0d 10753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  <_  N )
3230, 24, 22, 31leadd1dd 10067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( 0  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) )
3328, 32syl5eqbrr 4437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  <_ 
j )
3522, 25, 27, 33, 34letrd 9642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  j )
3635ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  ->  1  <_  j )
)
3736pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1
)  <_  j )
) )
3837bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
3920, 38bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
4039pm5.32da 641 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
41 eldif 3449 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) ) )
42 elnnz1 10786 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
4342anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )
44 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4541, 43, 443bitri 271 . . . 4  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4645a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) ) )
47 peano2nn0 10734 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4847nn0zd 10859 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
49 eluz1 10979 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
5048, 49syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
5140, 46, 503bitr4d 285 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
5251eqrdv 2451 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3436   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    < clt 9532    <_ cle 9533   NNcn 10436   NN0cn0 10693   ZZcz 10760   ZZ>=cuz 10975   ...cfz 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  26907  eulerpartlemsv3  26908  eulerpartlemgc  26909
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