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Theorem nndiffz1 26026
Description: Upper set of the positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nndiffz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem nndiffz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10668 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
2 nn0z 10661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j  /\  j  <_  N ) ) )
5 3anass 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
64, 5syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) ) )
76baibd 900 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
87baibd 900 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( j  e.  ( 1 ... N
)  <->  j  <_  N
) )
98notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  -.  j  <_  N ) )
10 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1110zred 10739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ZZ )
1312zred 10739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  RR )
1411, 13ltnled 9513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  -.  j  <_  N )
)
15 zltp1le 10686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  ( N  +  1 )  <_  j ) )
1614, 15bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
172, 16sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
199, 18bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
2019pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1 )  <_  j ) ) )
21 1re 9377 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  e.  RR )
23 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  NN0 )
2423nn0red 10629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  RR )
2524, 22readdcld 9405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
26 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  ZZ )
2726zred 10739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  RR )
28 0p1e1 10425 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
29 0re 9378 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  e.  RR )
3123nn0ge0d 10631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  <_  N )
3230, 24, 22, 31leadd1dd 9945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( 0  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) )
3328, 32syl5eqbrr 4321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
34 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  <_ 
j )
3522, 25, 27, 33, 34letrd 9520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  j )
3635ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  ->  1  <_  j )
)
3736pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1
)  <_  j )
) )
3837bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
3920, 38bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
4039pm5.32da 641 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
41 eldif 3333 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) ) )
42 elnnz1 10664 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
4342anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )
44 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4541, 43, 443bitri 271 . . . 4  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4645a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) ) )
47 peano2nn0 10612 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4847nn0zd 10737 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
49 eluz1 10857 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
5048, 49syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
5140, 46, 503bitr4d 285 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
5251eqrdv 2436 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3320   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430
This theorem is referenced by:  eulerpartlems  26695  eulerpartlemsv3  26696  eulerpartlemgc  26697
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