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Theorem nndiffz1 27756
Description: Upper set of the positive integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
nndiffz1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem nndiffz1
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10915 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
2 nn0z 10908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 11702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j  /\  j  <_  N ) ) )
5 3anass 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j  /\  j  <_  N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
64, 5syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) ) )
76baibd 909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( j  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( 1  <_  j  /\  j  <_  N ) ) )
87baibd 909 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( j  e.  ( 1 ... N
)  <->  j  <_  N
) )
98notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  -.  j  <_  N ) )
10 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1110zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  ZZ )
1312zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  j  e.  RR )
1411, 13ltnled 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  -.  j  <_  N )
)
15 zltp1le 10934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( N  <  j  <->  ( N  +  1 )  <_  j ) )
1614, 15bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
172, 16sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( -.  j  <_  N 
<->  ( N  +  1 )  <_  j )
)
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  <_  N  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
199, 18bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  1  <_  j
)  ->  ( -.  j  e.  ( 1 ... N )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
2019pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1 )  <_  j ) ) )
21 1red 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  e.  RR )
22 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  NN0 )
2322nn0red 10874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  N  e.  RR )
2423, 21readdcld 9640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
25 simplr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  ZZ )
2625zred 10990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  j  e.  RR )
27 0p1e1 10668 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
28 0red 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  e.  RR )
2922nn0ge0d 10876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  0  <_  N )
3028, 23, 21, 29leadd1dd 10187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( 0  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) )
3127, 30syl5eqbrr 4490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  ( N  +  1 ) )
32 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  ( N  +  1 )  <_ 
j )
3321, 24, 26, 31, 32letrd 9756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( N  + 
1 )  <_  j
)  ->  1  <_  j )
3433ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  ->  1  <_  j )
)
3534pm4.71rd 635 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  <_  j  <->  ( 1  <_  j  /\  ( N  +  1
)  <_  j )
) )
3620, 35bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  <_ 
j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) )  <->  ( N  +  1 )  <_ 
j ) )
3736pm5.32da 641 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
38 eldif 3481 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N
) ) )
39 elnnz1 10911 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  <->  ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j ) )
4039anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  NN  /\  -.  j  e.  (
1 ... N ) )  <-> 
( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_ 
j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) )
41 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\  1  <_  j )  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4238, 40, 413bitri 271 . . . 4  |-  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) )
4342a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  j  /\  -.  j  e.  ( 1 ... N ) ) ) ) )
44 peano2nn0 10857 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
4544nn0zd 10988 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
46 eluz1 11110 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
4745, 46syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  <->  ( j  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  <_ 
j ) ) )
4837, 43, 473bitr4d 285 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( j  e.  ( NN  \ 
( 1 ... N
) )  <->  j  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
4948eqrdv 2454 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( NN 
\  ( 1 ... N ) )  =  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
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