MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncnd Unicode version

Theorem nncnd 9972
Description: A natural number is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nncnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nncnd
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9961 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3306 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   CCcc 8944   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  facdiv  11533  facndiv  11534  faclbnd  11536  faclbnd5  11544  faclbnd6  11545  facubnd  11546  facavg  11547  bccmpl  11555  bcn0  11556  bcn1  11559  bcm1k  11561  bcp1n  11562  bcp1nk  11563  bcval5  11564  bcpasc  11567  permnn  11572  hashf1  11661  hashfac  11662  wrdeqcats1  11743  binom11  12566  binom1dif  12567  climcndslem2  12585  arisum2  12595  trireciplem  12596  trirecip  12597  geo2sum  12605  geo2lim  12607  eftcl  12631  eftabs  12633  efcllem  12635  ege2le3  12647  efcj  12649  efaddlem  12650  eftlub  12665  eirrlem  12758  sqr2irrlem  12802  oexpneg  12866  bitsp1  12898  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsmod  12903  bitscmp  12905  bitsinv1lem  12908  bitsinv1  12909  2ebits  12914  bitsinvp1  12916  sadcaddlem  12924  sadadd3  12928  bitsres  12940  bitsuz  12941  bitsshft  12942  mulgcd  13001  rplpwr  13011  sqgcd  13013  prmind2  13045  isprm5  13067  prmdvdsexpr  13071  divgcdodd  13074  qmuldeneqnum  13094  divnumden  13095  qnumgt0  13097  numdensq  13101  hashdvds  13119  phiprmpw  13120  prmdiv  13129  prmdivdiv  13131  pythagtriplem4  13148  pythagtriplem6  13150  pythagtriplem7  13151  pythagtriplem14  13157  pythagtriplem15  13158  pythagtriplem19  13162  pythagtrip  13163  pcprendvds2  13170  pcpre1  13171  pcpremul  13172  pceulem  13174  pcdiv  13181  pcqmul  13182  pcelnn  13198  pcid  13201  pc2dvds  13207  pcaddlem  13212  pcadd  13213  pcfaclem  13222  qexpz  13225  expnprm  13226  prmpwdvds  13227  pockthlem  13228  pockthg  13229  infpnlem1  13233  prmreclem1  13239  prmreclem2  13240  prmreclem3  13241  prmreclem4  13242  prmreclem6  13244  4sqlem6  13266  4sqlem7  13267  4sqlem10  13270  mul4sqlem  13276  4sqlem11  13278  4sqlem12  13279  4sqlem14  13281  4sqlem17  13284  4sqlem18  13285  vdwlem1  13304  vdwlem2  13305  vdwlem3  13306  vdwlem5  13308  vdwlem6  13309  vdwlem8  13311  vdwlem9  13312  vdwlem10  13313  vdwlem12  13315  ramub1lem2  13350  ramcl  13352  gsumccat  14742  mulgnndir  14867  mulgnnass  14873  odf1o2  15162  pgp0  15185  sylow1lem1  15187  odcau  15193  sylow2blem3  15211  sylow3lem3  15218  sylow3lem4  15219  gexexlem  15422  ablfacrp2  15580  ablfac1lem  15581  ablfac1eu  15586  pgpfac1lem3a  15589  pgpfac1lem3  15590  zlpirlem3  16725  znrrg  16801  lebnumlem3  18941  ovollb2lem  19337  ovolunlem1a  19345  ovolunlem1  19346  uniioombllem3  19430  uniioombllem4  19431  dyaddisjlem  19440  mbfi1fseqlem3  19562  mbfi1fseqlem4  19563  dgrcolem1  20144  vieta1lem1  20180  vieta1lem2  20181  elqaalem2  20190  elqaalem3  20191  aalioulem1  20202  aaliou3lem2  20213  aaliou3lem8  20215  aaliou3lem6  20218  aaliou3lem9  20220  taylfvallem1  20226  tayl0  20231  taylply2  20237  taylply  20238  dvtaylp  20239  taylthlem1  20242  taylthlem2  20243  pserdvlem2  20297  advlogexp  20499  cxpmul2  20533  cxpeq  20594  atantayl3  20732  leibpi  20735  log2cnv  20737  log2tlbnd  20738  birthdaylem2  20744  birthdaylem3  20745  amgmlem  20781  amgm  20782  emcllem5  20791  fsumharmonic  20803  wilthlem1  20804  wilthlem2  20805  wilthlem3  20806  basellem1  20816  basellem2  20817  basellem3  20818  basellem4  20819  basellem5  20820  basellem8  20823  vmaprm  20853  sgmval2  20879  0sgm  20880  sgmf  20881  vma1  20902  dvdsdivcl  20919  fsumdvdsdiaglem  20921  dvdsflf1o  20925  muinv  20931  dvdsmulf1o  20932  sgmppw  20934  1sgmprm  20936  1sgm2ppw  20937  sgmmul  20938  chtublem  20948  fsumvma2  20951  chpchtsum  20956  logfaclbnd  20959  logexprlim  20962  mersenne  20964  perfect1  20965  perfectlem1  20966  perfectlem2  20967  perfect  20968  dchrsum2  21005  dchrhash  21008  bcmono  21014  bcp1ctr  21016  bclbnd  21017  bposlem1  21021  bposlem2  21022  bposlem3  21023  bposlem5  21025  bposlem6  21026  lgsval2lem  21043  lgsqrlem2  21079  lgseisenlem1  21086  lgseisenlem4  21089  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  lgsquadlem3  21093  lgsquad2  21097  m1lgs  21099  2sqlem3  21103  2sqlem4  21104  chebbnd1lem1  21116  chebbnd1  21119  rplogsumlem1  21131  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem1  21136  dchrmusum2  21141  dchrvmasumlem1  21142  dchrvmasum2lem  21143  dchrvmasum2if  21144  dchrvmasumlem2  21145  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0flblem2  21156  dchrisum0fno1  21158  rpvmasum2  21159  rplogsum  21174  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem2  21182  vmalogdivsum2  21185  vmalogdivsum  21186  2vmadivsumlem  21187  logsqvma  21189  selberglem2  21193  selberglem3  21194  selberg  21195  selberg2lem  21197  logdivbnd  21203  selberg3lem1  21204  selberg4lem1  21207  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd2  21214  selberg3r  21216  selberg4r  21217  selberg34r  21218  pntsval2  21223  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem6  21230  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntlemg  21245  pntlemn  21247  pntlemf  21252  pnt  21261  padicabvf  21278  ostth2lem2  21281  ostth3  21285  eupares  21650  numdenneg  24113  ltesubnnd  24115  qqhnm  24327  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  zetacvg  24752  dmgmdivn0  24765  lgamgulmlem3  24768  lgamgulmlem4  24769  lgamgulmlem5  24770  lgamgulmlem6  24771  lgamgulm2  24773  lgamcvg2  24792  gamcvg  24793  gamcvg2lem  24796  facgam  24803  subfacp1lem1  24818  subfacp1lem5  24823  subfacval2  24826  subfaclim  24827  cvmliftlem2  24926  cvmliftlem7  24931  cvmliftlem10  24934  cvmliftlem11  24935  cvmliftlem13  24936  fprodfac  25249  iprodgam  25272  risefacfac  25301  fallfacfac  25302  fallfacfwd  25303  faclimlem1  25310  faclimlem2  25311  faclim2  25315  bpolycl  26002  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  fsumkthpow  26006  mblfinlem  26143  nn0prpwlem  26215  nn0prpw  26216  irrapxlem4  26778  irrapxlem5  26779  pellexlem2  26783  pellexlem6  26787  pell1234qrne0  26806  pell1234qrreccl  26807  pell1234qrmulcl  26808  pell1234qrdich  26814  pell14qrdich  26822  pell1qrge1  26823  pell1qr1  26824  pell14qrgapw  26829  rmxyneg  26873  rmxm1  26887  rmxluc  26889  rmxdbl  26892  jm2.19lem1  26950  jm2.27c  26968  psgnunilem5  27285  phisum  27386  clim1fr1  27594  dvsinexp  27607  itgsinexplem1  27615  itgsinexp  27616  stoweidlem1  27617  stoweidlem11  27627  stoweidlem25  27641  stoweidlem26  27642  stoweidlem34  27650  stoweidlem37  27653  stoweidlem38  27654  stoweidlem42  27658  wallispi2lem1  27687  wallispi2  27689  stirlinglem4  27693  stirlinglem5  27694  stirlinglem10  27699  stirlinglem15  27704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957
  Copyright terms: Public domain W3C validator