MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncnd Structured version   Unicode version

Theorem nncnd 10552
Description: A positive integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nncnd  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nncnd
StepHypRef Expression
1 nnsscn 10541 . 2  |-  NN  C_  CC
2 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
31, 2sseldi 3502 1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   CCcc 9490   NNcn 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-nn 10537
This theorem is referenced by:  facdiv  12333  facndiv  12334  faclbnd  12336  faclbnd5  12344  faclbnd6  12345  facubnd  12346  facavg  12347  bccmpl  12355  bcn0  12356  bcn1  12359  bcm1k  12361  bcp1n  12362  bcp1nk  12363  bcval5  12364  bcpasc  12367  permnn  12372  hashf1  12472  hashfac  12473  wrdeqcats1  12662  binom11  13607  binom1dif  13608  climcndslem2  13625  arisum2  13635  trireciplem  13636  trirecip  13637  geo2sum  13645  geo2lim  13647  eftcl  13671  eftabs  13673  efcllem  13675  ege2le3  13687  efcj  13689  efaddlem  13690  eftlub  13705  eirrlem  13798  sqr2irrlem  13842  oexpneg  13908  bitsp1  13940  bitsfzolem  13943  bitsfzo  13944  bitsmod  13945  bitscmp  13947  bitsinv1lem  13950  bitsinv1  13951  2ebits  13956  bitsinvp1  13958  sadcaddlem  13966  sadadd3  13970  bitsres  13982  bitsuz  13983  bitsshft  13984  mulgcd  14043  rplpwr  14053  sqgcd  14055  prmind2  14087  isprm5  14112  prmdvdsexpr  14116  divgcdodd  14119  qmuldeneqnum  14139  divnumden  14140  qnumgt0  14142  numdensq  14146  hashdvds  14164  phiprmpw  14165  prmdiv  14174  prmdivdiv  14176  modprm0  14189  pythagtriplem4  14202  pythagtriplem6  14204  pythagtriplem7  14205  pythagtriplem14  14211  pythagtriplem15  14212  pythagtriplem19  14216  pythagtrip  14217  pcprendvds2  14224  pcpre1  14225  pcpremul  14226  pceulem  14228  pcdiv  14235  pcqmul  14236  pcelnn  14252  pcid  14255  pc2dvds  14261  pcaddlem  14266  pcadd  14267  pcfaclem  14276  qexpz  14279  expnprm  14280  prmpwdvds  14281  pockthlem  14282  pockthg  14283  infpnlem1  14287  prmreclem1  14293  prmreclem2  14294  prmreclem3  14295  prmreclem4  14296  prmreclem6  14298  4sqlem6  14320  4sqlem7  14321  4sqlem10  14324  mul4sqlem  14330  4sqlem11  14332  4sqlem12  14333  4sqlem14  14335  4sqlem17  14338  4sqlem18  14339  vdwlem1  14358  vdwlem2  14359  vdwlem3  14360  vdwlem5  14362  vdwlem6  14363  vdwlem8  14365  vdwlem9  14366  vdwlem10  14367  vdwlem12  14369  ramub1lem2  14404  ramcl  14406  gsumccat  15841  mulgnndir  15974  mulgnnass  15980  psgnunilem5  16325  odf1o2  16399  pgp0  16422  sylow1lem1  16424  odcau  16430  sylow2blem3  16448  sylow3lem3  16455  sylow3lem4  16456  gexexlem  16661  ablfacrp2  16920  ablfac1lem  16921  ablfac1eu  16926  pgpfac1lem3a  16929  pgpfac1lem3  16930  zringlpirlem3  18306  zlpirlem3  18311  znrrg  18399  cpmadugsumlemF  19172  lebnumlem3  21226  ovollb2lem  21662  ovolunlem1a  21670  ovolunlem1  21671  uniioombllem3  21757  uniioombllem4  21758  dyaddisjlem  21767  mbfi1fseqlem3  21887  mbfi1fseqlem4  21888  dgrcolem1  22432  vieta1lem1  22468  vieta1lem2  22469  elqaalem2  22478  elqaalem3  22479  aalioulem1  22490  aaliou3lem2  22501  aaliou3lem8  22503  aaliou3lem6  22506  aaliou3lem9  22508  taylfvallem1  22514  tayl0  22519  taylply2  22525  taylply  22526  dvtaylp  22527  taylthlem1  22530  taylthlem2  22531  pserdvlem2  22585  advlogexp  22792  cxpmul2  22826  cxpeq  22887  atantayl3  23026  leibpi  23029  log2cnv  23031  log2tlbnd  23032  birthdaylem2  23038  birthdaylem3  23039  amgmlem  23075  amgm  23076  emcllem5  23085  fsumharmonic  23097  wilthlem1  23098  wilthlem2  23099  wilthlem3  23100  basellem1  23110  basellem2  23111  basellem3  23112  basellem4  23113  basellem5  23114  basellem8  23117  vmaprm  23147  sgmval2  23173  0sgm  23174  sgmf  23175  vma1  23196  dvdsdivcl  23213  fsumdvdsdiaglem  23215  dvdsflf1o  23219  muinv  23225  dvdsmulf1o  23226  sgmppw  23228  1sgmprm  23230  1sgm2ppw  23231  sgmmul  23232  chtublem  23242  fsumvma2  23245  chpchtsum  23250  logfaclbnd  23253  logexprlim  23256  mersenne  23258  perfect1  23259  perfectlem1  23260  perfectlem2  23261  perfect  23262  dchrsum2  23299  dchrhash  23302  bcmono  23308  bcp1ctr  23310  bclbnd  23311  bposlem1  23315  bposlem2  23316  bposlem3  23317  bposlem5  23319  bposlem6  23320  lgsval2lem  23337  lgsqrlem2  23373  lgseisenlem1  23380  lgseisenlem4  23383  lgsquadlem1  23385  lgsquadlem2  23386  lgsquadlem3  23387  lgsquad2  23391  m1lgs  23393  2sqlem3  23397  2sqlem4  23398  chebbnd1lem1  23410  chebbnd1  23413  rplogsumlem1  23425  rplogsumlem2  23426  rpvmasumlem  23428  dchrisumlem1  23430  dchrmusum2  23435  dchrvmasumlem1  23436  dchrvmasum2lem  23437  dchrvmasum2if  23438  dchrvmasumlem2  23439  dchrvmasumlem3  23440  dchrvmasumiflem1  23442  dchrisum0flblem1  23449  dchrisum0flblem2  23450  dchrisum0fno1  23452  rpvmasum2  23453  rplogsum  23468  mulogsumlem  23472  mulogsum  23473  mulog2sumlem2  23476  vmalogdivsum2  23479  vmalogdivsum  23480  2vmadivsumlem  23481  logsqvma  23483  selberglem2  23487  selberglem3  23488  selberg  23489  selberg2lem  23491  logdivbnd  23497  selberg3lem1  23498  selberg4lem1  23501  pntrsumo1  23506  pntrsumbnd2  23508  selberg3r  23510  selberg4r  23511  selberg34r  23512  pntsval2  23517  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem6  23524  pntpbnd1  23527  pntpbnd2  23528  pntlemg  23539  pntlemn  23541  pntlemf  23546  pnt  23555  padicabvf  23572  ostth2lem2  23575  ostth3  23579  hashclwwlkn  24540  eupares  24679  numdenneg  27303  ltesubnnd  27308  qqhnm  27635  oddpwdc  27961  eulerpartlemsv2  27965  eulerpartlems  27967  eulerpartlemsv3  27968  eulerpartlemgc  27969  eulerpartlemv  27971  eulerpartlemgs2  27987  fibp1  28008  ballotlemfc0  28099  ballotlemfcc  28100  signsvtn0  28195  zetacvg  28225  dmgmdivn0  28238  lgamgulmlem3  28241  lgamgulmlem4  28242  lgamgulmlem5  28243  lgamgulmlem6  28244  lgamgulm2  28246  lgamcvg2  28265  gamcvg  28266  gamcvg2lem  28269  facgam  28276  subfacp1lem1  28291  subfacp1lem5  28296  subfacval2  28299  subfaclim  28300  cvmliftlem2  28399  cvmliftlem7  28404  cvmliftlem10  28407  cvmliftlem11  28408  cvmliftlem13  28409  fprodfac  28707  iprodgam  28730  risefacfac  28762  fallfacfwd  28763  fallfacval4  28770  bcfallfac  28771  fallfacfac  28772  faclimlem1  28773  faclimlem2  28774  faclim2  28778  bpolycl  29419  bpolysum  29420  bpolydiflem  29421  fsumkthpow  29423  nn0prpwlem  29745  nn0prpw  29746  irrapxlem4  30393  irrapxlem5  30394  pellexlem2  30398  pellexlem6  30402  pell1234qrne0  30421  pell1234qrreccl  30422  pell1234qrmulcl  30423  pell1234qrdich  30429  pell14qrdich  30437  pell1qrge1  30438  pell1qr1  30439  pell14qrgapw  30444  rmxyneg  30488  rmxm1  30502  rmxluc  30504  rmxdbl  30507  jm2.19lem1  30563  jm2.27c  30581  phisum  30792  itgpowd  30815  lcmgcdlem  30840  hashnzfzclim  30855  clim1fr1  31171  sumnnodd  31200  dvsinexp  31266  itgsinexplem1  31299  itgsinexp  31300  stoweidlem1  31329  stoweidlem11  31339  stoweidlem25  31353  stoweidlem26  31354  stoweidlem34  31362  stoweidlem37  31365  stoweidlem38  31366  stoweidlem42  31370  wallispi2lem1  31399  wallispi2  31401  stirlinglem4  31405  stirlinglem5  31406  stirlinglem10  31411  stirlinglem15  31416  dirkertrigeqlem3  31428  dirkertrigeq  31429  dirkercncflem2  31432  dirkercncflem4  31434  fourierdlem79  31514
  Copyright terms: Public domain W3C validator