MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncn Unicode version

Theorem nncn 9770
Description: A natural number is a complex number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nncn  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )

Proof of Theorem nncn
StepHypRef Expression
1 nnsscn 9767 . 2  |-  NN  C_  CC
21sseli 3189 1  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   CCcc 8751   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  nn1m1nn  9782  nn1suc  9783  nnaddcl  9784  nnmulcl  9785  nnsub  9800  nndiv  9802  nndivtr  9803  nnnn0addcl  10011  nn0nnaddcl  10012  elnnnn0  10023  nn0sub  10030  nnnegz  10043  elz2  10056  zaddcl  10075  nnaddm1cl  10089  zdiv  10098  zdivadd  10099  zdivmul  10100  nneo  10111  peano5uzi  10116  uzindOLD  10122  elq  10334  qmulz  10335  qaddcl  10348  qnegcl  10349  qmulcl  10350  qreccl  10352  rpnnen1lem5  10362  fseq1m1p1  10874  quoremz  10975  quoremnn0ALT  10977  intfracq  10979  fldiv  10980  fldiv2  10981  modmulnn  11004  nn0ennn  11057  ser1const  11118  expneg  11127  expm1t  11146  nnsqcl  11189  nnlesq  11222  digit2  11250  digit1  11251  facdiv  11316  facndiv  11317  faclbnd  11319  faclbnd4lem1  11322  faclbnd4lem4  11325  bcn1  11341  bcm1k  11343  bcp1n  11344  bcval5  11346  isercoll2  12158  divcnv  12328  harmonic  12333  arisum  12334  arisum2  12335  expcnv  12338  geomulcvg  12348  mertenslem2  12357  ef0lem  12376  efexp  12397  ruclem12  12535  sqr2irr  12543  divalgmod  12621  ndvdsadd  12623  modgcd  12731  gcddiv  12744  gcdmultiple  12745  gcdmultiplez  12746  rpmulgcd  12750  rplpwr  12751  sqgcd  12753  prmind2  12785  qredeq  12801  qredeu  12802  isprm6  12804  divnumden  12835  divdenle  12836  nn0gcdsq  12839  pythagtriplem1  12885  pythagtriplem2  12886  pythagtriplem6  12890  pythagtriplem7  12891  pythagtriplem12  12895  pythagtriplem14  12897  pythagtriplem15  12898  pythagtriplem16  12899  pythagtriplem17  12900  pythagtriplem19  12902  pcqcl  12925  pcexp  12928  pcneg  12942  fldivp1  12961  prmpwdvds  12967  infpnlem2  12974  prmreclem1  12979  prmreclem6  12984  4sqlem19  13026  vdwapun  13037  vdwapid1  13038  mulgnegnn  14593  mulgnnass  14611  odmod  14877  cnfldmulg  16422  prmirredlem  16462  znidomb  16531  znrrg  16535  ovolunlem1  18872  uniioombllem3  18956  vitali  18984  mbfi1fseqlem3  19088  dvexp  19318  dvexp3  19341  plyeq0lem  19608  dgrcolem1  19670  aaliou3lem2  19739  aaliou3lem7  19745  pserdv2  19822  abelthlem6  19828  logtayl  20023  logtaylsum  20024  logtayl2  20025  cxpexp  20031  cxproot  20053  root1id  20110  root1eq1  20111  cxpeq  20113  atantayl  20249  atantayl2  20250  birthdaylem2  20263  dfef2  20281  emcllem2  20306  emcllem3  20307  basellem2  20335  basellem3  20336  basellem5  20338  basellem8  20341  mumul  20435  dvdsdivcl  20437  dvdsflip  20438  fsumdvdscom  20441  muinv  20449  chtublem  20466  perfect  20486  pcbcctr  20531  bclbnd  20535  bposlem1  20539  bposlem6  20544  lgssq  20590  lgssq2  20591  2sqlem6  20624  2sqlem10  20629  rplogsumlem1  20649  dchrmusumlema  20658  dchrmusum2  20659  dchrvmasumiflem1  20666  dchrvmaeq0  20669  dchrisum0re  20678  logdivbnd  20721  gxnn0neg  20946  ipasslem4  21428  ipasslem5  21429  zetacvg  23704  subfacp1lem6  23731  subfaclim  23734  snmlff  23927  circum  24022  faclimlem3  24119  nndivsub  24967  ovoliunnfl  25000  nn0prpwlem  26340  irrapxlem1  27009  pellexlem1  27016  pellqrex  27066  2nn0ind  27132  jm2.17c  27151  acongrep  27169  jm2.18  27183  jm2.20nn  27192  jm2.16nn0  27199  hashgcdlem  27618  proot1ex  27622  clim1fr1  27829  dvsinexp  27842  itgsinexp  27851  stoweidlem1  27852  stoweidlem11  27862  stoweidlem14  27865  stoweidlem25  27876  stoweidlem26  27877  stoweidlem34  27885  stoweidlem37  27888  stoweidlem38  27889  stoweidlem42  27893  wallispilem4  27919  wallispilem5  27920  wallispi  27921  wallispi2lem1  27922  wallispi2lem2  27923  wallispi2  27924  stirlinglem1  27925  stirlinglem3  27927  stirlinglem4  27928  stirlinglem5  27929  stirlinglem6  27930  stirlinglem7  27931  stirlinglem8  27932  stirlinglem10  27934  stirlinglem11  27935  stirlinglem12  27936  stirlinglem13  27937  stirlinglem14  27938  stirlinglem15  27939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator