MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncan Structured version   Unicode version

Theorem nncan 9638
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
nncan  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )

Proof of Theorem nncan
StepHypRef Expression
1 subsub2 9637 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B ) )  =  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
213anidm12 1275 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  ( A  +  ( B  -  A ) ) )
3 pncan3 9618 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
42, 3eqtrd 2475 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  ( A  -  B )
)  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6091   CCcc 9280    + caddc 9285    - cmin 9595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-ltxr 9423  df-sub 9597
This theorem is referenced by:  nnncan1  9645  nncand  9724  elz2  10663  fzrev2  11520  fzrevral  11544  fzrevral2  11545  bccmpl  12085  revrev  12407  fsumrev  13246  geolim2  13331  dvdssub2  13570  efgredleme  16240  psrcom  17481  psropprmul  17693  icccvx  20522  lebnumii  20538  pcorevlem  20598  pcorev2  20600  pi1xfrcnv  20629  efcvx  21914  sincos3rdpi  21978  cosne0  21986  logtayl  22105  logtayl2  22107  logccv  22108  acoscos  22288  sinacos  22300  cvxcl  22378  scvxcvx  22379  basellem5  22422  logfacbnd3  22562  bposlem1  22623  lgsquadlem2  22694  chtppilimlem2  22723  rplogsumlem1  22733  rpvmasumlem  22736  brbtwn2  23151  ax5seglem1  23174  rescon  27135  dvasin  28480  subsubelfzo0  30210
  Copyright terms: Public domain W3C validator