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Theorem nnawordi 7165
Description: Adding to both sides of an inequality in  om (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
nnawordi  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )

Proof of Theorem nnawordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
2 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  (/) ) )
31, 2sseq12d 3488 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
43imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x ) 
C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) ) )
54imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) ) )  <-> 
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) ) ) )
6 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
7 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  y
) )
86, 7sseq12d 3488 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )
98imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
) ) ) ) )
11 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
12 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  +o  x
)  =  ( B  +o  suc  y ) )
1311, 12sseq12d 3488 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
1413imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) )  <-> 
( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x
) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
16 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  C
) )
17 oveq2 6203 . . . . . . 7  |-  ( x  =  C  ->  ( B  +o  x )  =  ( B  +o  C
) )
1816, 17sseq12d 3488 . . . . . 6  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x )  <->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) )
1918imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( x  =  C  ->  (
( A  C_  B  ->  ( A  +o  x
)  C_  ( B  +o  x ) )  <->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( x  =  C  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  x )  C_  ( B  +o  x ) ) )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) ) ) )
21 nnon 6587 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
22 nnon 6587 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
23 oa0 7061 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
2423adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
25 oa0 7061 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2625adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( B  +o  (/) )  =  B )
2724, 26sseq12d 3488 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) )  <->  A  C_  B
) )
2827biimprd 223 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
2921, 22, 28syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  (/) )  C_  ( B  +o  (/) ) ) )
30 nnacl 7155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  e.  om )
3130ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  y
)  e.  om )
3231adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( A  +o  y )  e.  om )
33 nnon 6587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  ( A  +o  y )  e.  On )
34 eloni 4832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( A  +o  y
) )
3532, 33, 343syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  Ord  ( A  +o  y ) )
36 nnacl 7155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
3736ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  y
)  e.  om )
3837adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( B  +o  y )  e.  om )
39 nnon 6587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  om  ->  ( B  +o  y )  e.  On )
40 eloni 4832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  +o  y )  e.  On  ->  Ord  ( B  +o  y
) )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  Ord  ( B  +o  y ) )
42 ordsucsssuc 6539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  ( A  +o  y )  /\  Ord  ( B  +o  y
) )  ->  (
( A  +o  y
)  C_  ( B  +o  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
4335, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
4443biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) )
45 nnasuc 7150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
4645ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
4746adantrr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y ) )
48 nnasuc 7150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
4948ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y
) )
5049adantrl 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( B  +o  suc  y )  =  suc  ( B  +o  y ) )
5147, 50sseq12d 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
5251adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y )  <->  suc  ( A  +o  y )  C_  suc  ( B  +o  y
) ) )
5344, 52mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  /\  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) )
5453ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
)  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y
) ) )
5554imim2d 52 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y
) )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) )
5655ex 434 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y )  C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
5756a2d 26 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  y )  C_  ( B  +o  y ) ) )  ->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  suc  y ) 
C_  ( B  +o  suc  y ) ) ) ) )
585, 10, 15, 20, 29, 57finds 6607 . . 3  |-  ( C  e.  om  ->  (
( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C
)  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
5958com12 31 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  e.  om  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C
)  C_  ( B  +o  C ) ) ) )
60593impia 1185 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  ( A  +o  C )  C_  ( B  +o  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3431   (/)c0 3740   Ord word 4821   Oncon0 4822   suc csuc 4824  (class class class)co 6195   omcom 6581    +o coa 7022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-oadd 7029
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