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Theorem nnawordex 7072
Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnawordex  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnawordex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  om )
2 nnon 6481 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  On )
4 simpll 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  om )
5 nnaword2 7065 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
61, 4, 5syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
7 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  B
) )
87sseq2d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  B ) ) )
98elrab 3114 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  <->  ( B  e.  On  /\  B  C_  ( A  +o  B
) ) )
103, 6, 9sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  {
y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
11 intss1 4140 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  B
)
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  B
)
13 ssrab2 3434 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  On
14 ne0i 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )
1510, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )
16 oninton 6410 . . . . . . . 8  |-  ( ( { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  On  /\  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On )
1713, 15, 16sylancr 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  On )
18 eloni 4725 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
20 ordom 6484 . . . . . 6  |-  Ord  om
21 ordtr2 4759 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  /\  Ord  om )  ->  ( ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  B  /\  B  e.  om )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om ) )
2219, 20, 21sylancl 657 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  C_  B  /\  B  e.  om )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om ) )
2312, 1, 22mp2and 674 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om )
24 nna0 7039 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
2524ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
26 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B
)
2725, 26eqsstrd 3387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  (/) )  C_  B )
28 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  (/) 
->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  =  ( A  +o  (/) ) )
2928sseq1d 3380 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  (/) 
->  ( ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B  <->  ( A  +o  (/) )  C_  B
) )
3027, 29syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) 
C_  B ) )
31 simprr 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x )
3231oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  ( A  +o  suc  x ) )
334adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  A  e.  om )
34 simprl 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  x  e.  om )
35 nnasuc 7041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
3633, 34, 35syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x ) )
3732, 36eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  suc  ( A  +o  x ) )
38 nnord 6483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
391, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  Ord  B )
4039adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  Ord  B )
41 nnon 6481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
4241adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  x  e.  On )
43 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
4443sucid 4794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
suc  x
45 simpr 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x )
4644, 45syl5eleqr 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  x  e.  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
47 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  x
) )
4847sseq2d 3381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
4948onnminsb 6414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
5042, 46, 49sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) )
5150adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x
) )
52 nnacl 7046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )
5333, 34, 52syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  x )  e.  om )
54 nnord 6483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  +o  x )  e.  om  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  Ord  ( A  +o  x ) )
56 ordtri1 4748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  ( A  +o  x
) )  ->  ( B  C_  ( A  +o  x )  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  B ) )
5740, 55, 56syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( B  C_  ( A  +o  x
)  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  B
) )
5857con2bid 329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( ( A  +o  x )  e.  B  <->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
5951, 58mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  x )  e.  B
)
60 ordsucss 6428 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( ( A  +o  x )  e.  B  ->  suc  ( A  +o  x )  C_  B ) )
6140, 59, 60sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  suc  ( A  +o  x )  C_  B )
6237, 61eqsstrd 3387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  C_  B )
6362rexlimdvaa 2840 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( E. x  e.  om  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B )
)
64 nn0suc 6499 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  om 
->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )
6523, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )
6630, 63, 65mpjaod 381 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B )
67 onint 6405 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  On  /\  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
6813, 15, 67sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  {
y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
69 nfrab1 2899 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }
7069nfint 4135 . . . . . . . 8  |-  F/_ y |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }
71 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ y On
72 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y B
73 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
74 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y  +o
7573, 74, 70nfov 6113 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
7672, 75nfss 3346 . . . . . . . 8  |-  F/ y  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
77 oveq2 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
7877sseq2d 3381 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) ) )
7970, 71, 76, 78elrabf 3112 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  <->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On  /\  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) ) )
8079simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  ->  B 
C_  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
8168, 80syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) )
8266, 81eqssd 3370 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  =  B )
83 oveq2 6098 . . . . . 6  |-  ( x  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
8483eqeq1d 2449 . . . . 5  |-  ( x  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  (
( A  +o  x
)  =  B  <->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  B ) )
8584rspcev 3070 . . . 4  |-  ( (
|^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  om  /\  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
8623, 82, 85syl2anc 656 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B )
8786ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B ) )
88 nnaword1 7064 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
8988adantlr 709 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
90 sseq2 3375 . . . 4  |-  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  A  C_  B
) )
9189, 90syl5ibcom 220 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
9291rexlimdva 2839 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( E. x  e. 
om  ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
9387, 92impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717    C_ wss 3325   (/)c0 3634   |^|cint 4125   Ord word 4714   Oncon0 4715   suc csuc 4717  (class class class)co 6090   omcom 6475    +o coa 6913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-oadd 6920
This theorem is referenced by:  nnaordex  7073  unfilem1  7572  hashdom  12138
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