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Theorem nnawordex 7338
Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnawordex  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nnawordex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  om )
2 nnon 6698 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
31, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  On )
4 simpll 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  A  e.  om )
5 nnaword2 7331 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
61, 4, 5syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  C_  ( A  +o  B ) )
7 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  B
) )
87sseq2d 3460 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  B ) ) )
98elrab 3196 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  <->  ( B  e.  On  /\  B  C_  ( A  +o  B
) ) )
103, 6, 9sylanbrc 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  e.  {
y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
11 intss1 4249 . . . . . 6  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  B
)
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  B
)
13 ssrab2 3514 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  C_  On
14 ne0i 3737 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )
1510, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )
16 oninton 6627 . . . . . . . 8  |-  ( ( { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  On  /\  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On )
1713, 15, 16sylancr 669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  On )
18 eloni 5433 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On  ->  Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
1917, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
20 ordom 6701 . . . . . 6  |-  Ord  om
21 ordtr2 5467 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  /\  Ord  om )  ->  ( ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  B  /\  B  e.  om )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om ) )
2219, 20, 21sylancl 668 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  C_  B  /\  B  e.  om )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om ) )
2312, 1, 22mp2and 685 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  om )
24 nna0 7305 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
2524ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
26 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B
)
2725, 26eqsstrd 3466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  (/) )  C_  B )
28 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  (/) 
->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  =  ( A  +o  (/) ) )
2928sseq1d 3459 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  (/) 
->  ( ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B  <->  ( A  +o  (/) )  C_  B
) )
3027, 29syl5ibrcom 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) 
C_  B ) )
31 simprr 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x )
3231oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  ( A  +o  suc  x ) )
334adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  A  e.  om )
34 simprl 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  x  e.  om )
35 nnasuc 7307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x
) )
3633, 34, 35syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  suc  x )  =  suc  ( A  +o  x ) )
3732, 36eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  suc  ( A  +o  x ) )
38 nnord 6700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
391, 38syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  Ord  B )
4039adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  Ord  B )
41 nnon 6698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
4241adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  x  e.  On )
43 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
4443sucid 5502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
suc  x
45 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x )
4644, 45syl5eleqr 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  x  e.  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
47 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  x
) )
4847sseq2d 3460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
4948onnminsb 6631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
5042, 46, 49sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x )  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) )
5150adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  -.  B  C_  ( A  +o  x
) )
52 nnacl 7312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )
5333, 34, 52syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  x )  e.  om )
54 nnord 6700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  +o  x )  e.  om  ->  Ord  ( A  +o  x
) )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  Ord  ( A  +o  x ) )
56 ordtri1 5456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  B  /\  Ord  ( A  +o  x
) )  ->  ( B  C_  ( A  +o  x )  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  B ) )
5740, 55, 56syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( B  C_  ( A  +o  x
)  <->  -.  ( A  +o  x )  e.  B
) )
5857con2bid 331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( ( A  +o  x )  e.  B  <->  -.  B  C_  ( A  +o  x ) ) )
5951, 58mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  x )  e.  B
)
60 ordsucss 6645 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( ( A  +o  x )  e.  B  ->  suc  ( A  +o  x )  C_  B ) )
6140, 59, 60sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  suc  ( A  +o  x )  C_  B )
6237, 61eqsstrd 3466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  /\  (
x  e.  om  /\  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )  ->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  C_  B )
6362rexlimdvaa 2880 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( E. x  e.  om  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  suc  x  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B )
)
64 nn0suc 6717 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  om 
->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )
6523, 64syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =  (/)  \/ 
E. x  e.  om  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  =  suc  x ) )
6630, 63, 65mpjaod 383 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  C_  B )
67 onint 6622 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } 
C_  On  /\  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  =/=  (/) )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
6813, 15, 67sylancr 669 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  e.  {
y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
69 nfrab1 2971 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }
7069nfint 4244 . . . . . . . 8  |-  F/_ y |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }
71 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ y On
72 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y B
73 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y A
74 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y  +o
7573, 74, 70nfov 6316 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )
7672, 75nfss 3425 . . . . . . . 8  |-  F/ y  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )
77 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( A  +o  y )  =  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
7877sseq2d 3460 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( B  C_  ( A  +o  y )  <->  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) ) )
7970, 71, 76, 78elrabf 3194 . . . . . . 7  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  <->  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  On  /\  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) ) )
8079simprbi 466 . . . . . 6  |-  ( |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  ->  B 
C_  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
8168, 80syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  B  C_  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } ) )
8266, 81eqssd 3449 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  ( A  +o  |^|
{ y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } )  =  B )
83 oveq2 6298 . . . . . 6  |-  ( x  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) } ) )
8483eqeq1d 2453 . . . . 5  |-  ( x  =  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) }  ->  (
( A  +o  x
)  =  B  <->  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  B ) )
8584rspcev 3150 . . . 4  |-  ( (
|^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y ) }  e.  om  /\  ( A  +o  |^| { y  e.  On  |  B  C_  ( A  +o  y
) } )  =  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B )
8623, 82, 85syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  C_  B )  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B )
8786ex 436 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  ->  E. x  e.  om  ( A  +o  x
)  =  B ) )
88 nnaword1 7330 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
8988adantlr 721 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  x  e.  om )  ->  A  C_  ( A  +o  x ) )
90 sseq2 3454 . . . 4  |-  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  ( A  C_  ( A  +o  x )  <->  A  C_  B
) )
9189, 90syl5ibcom 224 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  x  e.  om )  ->  ( ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
9291rexlimdva 2879 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( E. x  e. 
om  ( A  +o  x )  =  B  ->  A  C_  B
) )
9387, 92impbid 194 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  E. x  e.  om  ( A  +o  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   E.wrex 2738   {crab 2741    C_ wss 3404   (/)c0 3731   |^|cint 4234   Ord word 5422   Oncon0 5423   suc csuc 5425  (class class class)co 6290   omcom 6692    +o coa 7179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-oadd 7186
This theorem is referenced by:  nnaordex  7339  unfilem1  7835  hashdom  12558
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