MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaword Structured version   Unicode version

Theorem nnaword 7268
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaword
StepHypRef Expression
1 nnaord 7260 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
213com12 1195 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  <->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
32notbid 294 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  <->  -.  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) )
4 nnord 6681 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
5 nnord 6681 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
6 ordtri1 4906 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
74, 5, 6syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
873adant3 1011 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
9 nnacl 7252 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
109ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
11103adant2 1010 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  A )  e. 
om )
12 nnacl 7252 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
1312ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
14133adant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  B )  e. 
om )
15 nnord 6681 . . . 4  |-  ( ( C  +o  A )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  A
) )
16 nnord 6681 . . . 4  |-  ( ( C  +o  B )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  B
) )
17 ordtri1 4906 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( C  +o  A )  /\  Ord  ( C  +o  B
) )  ->  (
( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
1815, 16, 17syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( C  +o  A
)  e.  om  /\  ( C  +o  B
)  e.  om )  ->  ( ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
1911, 14, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  <->  -.  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) )
203, 8, 193bitr4d 285 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 968    e. wcel 1762    C_ wss 3471   Ord word 4872  (class class class)co 6277   omcom 6673    +o coa 7119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126
This theorem is referenced by:  nnacan  7269  nnaword1  7270
  Copyright terms: Public domain W3C validator