Theorem nnaun 6089

Description: The cardinality of the union of disjoint, finite sets is the ordinal sum of their cardinalities. (Contributed by Paul Chapman, 5-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
nnaun	|- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> (card` (A u. B)) = ((card` A) +o (card` B)))

Proof of Theorem nnaun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		entr 5473	. . . . 5 |- (((card` ((card` A) +c (card` B))) ~~ ((card` A) +c (card` B)) /\ ((card` A) +c (card` B)) ~~ (A u. B)) -> (card` ((card` A) +c (card` B))) ~~ (A u. B))
2		cardid 5977	. . . . 5 |- (card` ((card` A) +c (card` B))) ~~ ((card` A) +c (card` B))
3		fvex 4689	. . . . . . . . 9 |- (card` A) e. _V
4		fvex 4689	. . . . . . . . 9 |- (card` B) e. _V
5	3, 4	pm3.2i 307	. . . . . . . 8 |- ((card` A) e. _V /\ (card` B) e. _V)
6		an4 564	. . . . . . . . 9 |- ((((card` A) e. _V /\ (card` B) e. _V) /\ (A e. Fin /\ B e. Fin)) <-> (((card` A) e. _V /\ A e. Fin) /\ ((card` B) e. _V /\ B e. Fin)))
7		cardid 5977	. . . . . . . . . . 11 |- (card` A) ~~ A
8		cardid 5977	. . . . . . . . . . 11 |- (card` B) ~~ B
9	7, 8	pm3.2i 307	. . . . . . . . . 10 |- ((card` A) ~~ A /\ (card` B) ~~ B)
10		cdaeng 6074	. . . . . . . . . 10 |- ((((card` A) e. _V /\ A e. Fin) /\ ((card` B) e. _V /\ B e. Fin) /\ ((card` A) ~~ A /\ (card` B) ~~ B)) -> ((card` A) +c (card` B)) ~~ (A +c B))
11	9, 10	mp3an3 1180	. . . . . . . . 9 |- ((((card` A) e. _V /\ A e. Fin) /\ ((card` B) e. _V /\ B e. Fin)) -> ((card` A) +c (card` B)) ~~ (A +c B))
12	6, 11	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- ((((card` A) e. _V /\ (card` B) e. _V) /\ (A e. Fin /\ B e. Fin)) -> ((card` A) +c (card` B)) ~~ (A +c B))
13	5, 12	mpan 759	. . . . . . 7 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> ((card` A) +c (card` B)) ~~ (A +c B))
14	13	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> ((card` A) +c (card` B)) ~~ (A +c B))
15		cdaung 6071	. . . . . 6 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> (A +c B) ~~ (A u. B))
16		entr 5473	. . . . . 6 |- ((((card` A) +c (card` B)) ~~ (A +c B) /\ (A +c B) ~~ (A u. B)) -> ((card` A) +c (card` B)) ~~ (A u. B))
17	14, 15, 16	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> ((card` A) +c (card` B)) ~~ (A u. B))
18	1, 2, 17	sylancr 526	. . . 4 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> (card` ((card` A) +c (card` B))) ~~ (A u. B))
19		nnacda 6088	. . . . . . 7 |- (((card` A) e. om /\ (card` B) e. om) -> (card` ((card` A) +c (card` B))) = ((card` A) +o (card` B)))
20		ficardom 5979	. . . . . . 7 |- (A e. Fin -> (card` A) e. om)
21		ficardom 5979	. . . . . . 7 |- (B e. Fin -> (card` B) e. om)
22	19, 20, 21	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (card` ((card` A) +c (card` B))) = ((card` A) +o (card` B)))
23	22	breq1d 3348	. . . . 5 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> ((card` ((card` A) +c (card` B))) ~~ (A u. B) <-> ((card` A) +o (card` B)) ~~ (A u. B)))
24	23	3adant3 896	. . . 4 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> ((card` ((card` A) +c (card` B))) ~~ (A u. B) <-> ((card` A) +o (card` B)) ~~ (A u. B)))
25	18, 24	mpbid 212	. . 3 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> ((card` A) +o (card` B)) ~~ (A u. B))
26		carden 5981	. . . . 5 |- ((((card` A) +o (card` B)) e. _V /\ (A u. B) e. Fin) -> ((card` ((card` A) +o (card` B))) = (card` (A u. B)) <-> ((card` A) +o (card` B)) ~~ (A u. B)))
27		oprex 4907	. . . . 5 |- ((card` A) +o (card` B)) e. _V
28		unfi 5644	. . . . 5 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (A u. B) e. Fin)
29	26, 27, 28	sylancr 526	. . . 4 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> ((card` ((card` A) +o (card` B))) = (card` (A u. B)) <-> ((card` A) +o (card` B)) ~~ (A u. B)))
30	29	3adant3 896	. . 3 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> ((card` ((card` A) +o (card` B))) = (card` (A u. B)) <-> ((card` A) +o (card` B)) ~~ (A u. B)))
31	25, 30	mpbird 213	. 2 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> (card` ((card` A) +o (card` B))) = (card` (A u. B)))
32		nnacl 5281	. . . . 5 |- (((card` A) e. om /\ (card` B) e. om) -> ((card` A) +o (card` B)) e. om)
33		cardnn 5870	. . . . 5 |- (((card` A) +o (card` B)) e. om -> (card` ((card` A) +o (card` B))) = ((card` A) +o (card` B)))
34	32, 33	syl 12	. . . 4 |- (((card` A) e. om /\ (card` B) e. om) -> (card` ((card` A) +o (card` B))) = ((card` A) +o (card` B)))
35	34, 20, 21	syl2an 503	. . 3 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin) -> (card` ((card` A) +o (card` B))) = ((card` A) +o (card` B)))
36	35	3adant3 896	. 2 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> (card` ((card` A) +o (card` B))) = ((card` A) +o (card` B)))
37	31, 36	eqtr3d 1927	1 |- ((A e. Fin /\ B e. Fin /\ (A i^i B) = (/)) -> (card` (A u. B)) = ((card` A) +o (card` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  omcom 3949  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   +o coa 5174   ~~ cen 5423  Fincfn 5426  cardccrd 5859   +c ccda 6065

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-fin 5430  df-card 5862  df-cda 6066

Copyright terms: Public domain