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Theorem nnaordi 7257
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers. (Contributed by NM, 3-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaordi  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaordi
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 6681 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
21ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
32adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  A  e.  om )
4 nnord 6679 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
5 ordsucss 6624 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
76ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
8 peano2b 6687 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
9 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  A ) )
109sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A
) ) )
1110imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  A ) ) ) )
12 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  y
) )
1312sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) )
1413imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y
) ) ) )
15 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( C  +o  x
)  =  ( C  +o  suc  y ) )
1615sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y
) ) )
1716imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( C  e. 
om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <-> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
18 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  ( C  +o  x )  =  ( C  +o  B
) )
1918sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x )  <->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
2019imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  x ) )  <->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) ) )
21 ssid 3516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  A )
2221a1ii 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc 
A  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  suc  A ) ) )
23 sssucid 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  +o  y )  C_  suc  ( C  +o  y
)
24 sstr2 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  (
( C  +o  y
)  C_  suc  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2523, 24mpi 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  suc  ( C  +o  y ) )
26 nnasuc 7245 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2726ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  y )  =  suc  ( C  +o  y
) )
2827sseq2d 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y )  <-> 
( C  +o  suc  A )  C_  suc  ( C  +o  y ) ) )
2925, 28syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  -> 
( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) )
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  ( C  e.  om  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y )  ->  ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3231a2d 26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  y ) )  -> 
( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  suc  y ) ) ) )
3311, 14, 17, 20, 22, 32findsg 6698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  om  /\ 
suc  A  e.  om )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A
)  C_  ( C  +o  B ) ) )
3433exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  om  ->  ( suc  A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
358, 34syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  e.  om  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3635com4r 86 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B ) ) ) ) )
3736imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  B  ->  ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
38 nnasuc 7245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  suc  A )  =  suc  ( C  +o  A ) )
3938sseq1d 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  <->  suc  ( C  +o  A )  C_  ( C  +o  B
) ) )
40 ovex 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +o  A )  e. 
_V
41 sucssel 4963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +o  A )  e.  _V  ->  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  ( C  +o  A
)  C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4339, 42syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A )  C_  ( C  +o  B )  -> 
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
4443adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( ( C  +o  suc  A ) 
C_  ( C  +o  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) ) )
457, 37, 443syld 55 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
4645imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e. 
om )  /\  A  e.  B )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
4746an32s 802 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e. 
om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B )  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B
) )
483, 47mpdan 668 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) )
4948ex 434 . 2  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
5049ancoms 453 1  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   Ord word 4870   suc csuc 4873  (class class class)co 6275   omcom 6671    +o coa 7117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-oadd 7124
This theorem is referenced by:  nnaord  7258  nnmordi  7270  addclpi  9259  addnidpi  9268
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