Theorem nnaordex 5306

Description: Equivalence for ordering. Compare Exercise 23 of [Enderton] p. 88.

Assertion

Ref	Expression
nnaordex	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem nnaordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oaordex 5240	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A e. B <-> E.x e. On ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
2		nnon 3957	. . . 4 |- (B e. om -> B e. On)
3	1, 2	sylan2 500	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. On ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
4		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A +o x) = B -> ((A +o x) e. om <-> B e. om))
5	4	bicomd 580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A +o x) = B -> (B e. om <-> (A +o x) e. om))
6		nnarcl 5287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. On /\ x e. On) -> ((A +o x) e. om <-> (A e. om /\ x e. om)))
7	5, 6	sylan9bbr 600	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (A +o x) = B) -> (B e. om <-> (A e. om /\ x e. om)))
8		simpr 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ x e. om) -> x e. om)
9	7, 8	syl6bi 231	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. On /\ x e. On) /\ (A +o x) = B) -> (B e. om -> x e. om))
10	9	exp31 407	. . . . . . . . . 10 |- (A e. On -> (x e. On -> ((A +o x) = B -> (B e. om -> x e. om))))
11	10	com23 36	. . . . . . . . 9 |- (A e. On -> ((A +o x) = B -> (x e. On -> (B e. om -> x e. om))))
12	11	adantld 426	. . . . . . . 8 |- (A e. On -> (((/) e. x /\ (A +o x) = B) -> (x e. On -> (B e. om -> x e. om))))
13	12	com24 41	. . . . . . 7 |- (A e. On -> (B e. om -> (x e. On -> (((/) e. x /\ (A +o x) = B) -> x e. om))))
14	13	imp4b 392	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> x e. om))
15		simpr 350	. . . . . . 7 |- ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> ((/) e. x /\ (A +o x) = B))
16	15	a1i 8	. . . . . 6 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
17	14, 16	jcad 661	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> (x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
18		nnon 3957	. . . . . 6 |- (x e. om -> x e. On)
19	18	anim1i 361	. . . . 5 |- ((x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) -> (x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
20	17, 19	impbid1 575	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. om) -> ((x e. On /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B)) <-> (x e. om /\ ((/) e. x /\ (A +o x) = B))))
21	20	rexbidv2 2126	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (E.x e. On ((/) e. x /\ (A +o x) = B) <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
22	3, 21	bitrd 587	. 2 |- ((A e. On /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))
23		nnon 3957	. 2 |- (A e. om -> A e. On)
24	22, 23	sylan 497	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> E.x e. om ((/) e. x /\ (A +o x) = B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  (/)c0 2875  Oncon0 3657  omcom 3949  (class class class)co 4884   +o coa 5174

This theorem is referenced by:  ltexpi 6181

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179

Copyright terms: Public domain