MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaord Unicode version

Theorem nnaord 6503
Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaord  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )

Proof of Theorem nnaord
StepHypRef Expression
1 nnaordi 6502 . . 3  |-  ( ( B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B ) ) )
213adant1 978 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
3 oveq2 5718 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B
) )
43a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B ) ) )
5 nnaordi 6502 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) )
653adant2 979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) ) )
74, 6orim12d 814 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  =  B  \/  B  e.  A
)  ->  ( ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B
)  \/  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A
) ) ) )
87con3d 127 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( -.  ( ( C  +o  A )  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B )  e.  ( C  +o  A ) )  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )
) )
9 df-3an 941 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  C  e.  om ) )
10 ancom 439 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  C  e.  om ) 
<->  ( C  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
) )
11 anandi 804 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  <->  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om ) ) )
129, 10, 113bitri 264 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  <->  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om ) ) )
13 nnacl 6495 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( C  +o  A
)  e.  om )
14 nnord 4555 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +o  A )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  A
) )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  Ord  ( C  +o  A ) )
16 nnacl 6495 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  +o  B
)  e.  om )
17 nnord 4555 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +o  B )  e.  om  ->  Ord  ( C  +o  B
) )
1816, 17syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  Ord  ( C  +o  B ) )
1915, 18anim12i 551 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( Ord  ( C  +o  A
)  /\  Ord  ( C  +o  B ) ) )
2012, 19sylbi 189 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( Ord  ( C  +o  A
)  /\  Ord  ( C  +o  B ) ) )
21 ordtri2 4320 . . . 4  |-  ( ( Ord  ( C  +o  A )  /\  Ord  ( C  +o  B
) )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B )  <->  -.  (
( C  +o  A
)  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) ) )
2220, 21syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B )  <->  -.  (
( C  +o  A
)  =  ( C  +o  B )  \/  ( C  +o  B
)  e.  ( C  +o  A ) ) ) )
23 nnord 4555 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
24 nnord 4555 . . . . . 6  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
2523, 24anim12i 551 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( Ord  A  /\  Ord  B ) )
26253adant3 980 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( Ord  A  /\  Ord  B
) )
27 ordtri2 4320 . . . 4  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A ) ) )
2826, 27syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )
) )
298, 22, 283imtr4d 261 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( C  +o  A
)  e.  ( C  +o  B )  ->  A  e.  B )
)
302, 29impbid 185 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  +o  A )  e.  ( C  +o  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   Ord word 4284   omcom 4547  (class class class)co 5710    +o coa 6362
This theorem is referenced by:  nnaordr  6504  nnaword  6511  nnaordex  6522  nnneo  6535  unfilem1  7006  ltapi  8407  1lt2pi  8409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-oadd 6369
  Copyright terms: Public domain W3C validator