Theorem nnaddm1cl 7142

Description: Closure of addition of natural numbers minus one.

Assertion

Ref	Expression
nnaddm1cl	|- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((A + B) - 1) e. NN)

Proof of Theorem nnaddm1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 6455	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)
2		nnre 7112	. . . 4 |- (A e. NN -> A e. RR)
3		nnre 7112	. . . 4 |- (B e. NN -> B e. RR)
4	1, 2, 3	syl2an 503	. . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A + B) e. RR)
5		1re 6598	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
6	5, 5	readdcli 6487	. . . . . 6 |- (1 + 1) e. RR
7	6	a1i 8	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + 1) e. RR)
8		readdcl 6455	. . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ B e. RR) -> (1 + B) e. RR)
9	8, 5, 3	sylancr 526	. . . . . 6 |- (B e. NN -> (1 + B) e. RR)
10	9	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + B) e. RR)
11		nnge1 7126	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> 1 <_ B)
12		leadd2 6809	. . . . . . . . 9 |- ((1 e. RR /\ B e. RR /\ 1 e. RR) -> (1 <_ B <-> (1 + 1) <_ (1 + B)))
13	5, 5, 12	mp3an13 1182	. . . . . . . 8 |- (B e. RR -> (1 <_ B <-> (1 + 1) <_ (1 + B)))
14	3, 13	syl 12	. . . . . . 7 |- (B e. NN -> (1 <_ B <-> (1 + 1) <_ (1 + B)))
15	11, 14	mpbid 212	. . . . . 6 |- (B e. NN -> (1 + 1) <_ (1 + B))
16	15	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + 1) <_ (1 + B))
17		nnge1 7126	. . . . . . 7 |- (A e. NN -> 1 <_ A)
18	17	adantr 425	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> 1 <_ A)
19		leadd1 6808	. . . . . . . 8 |- ((1 e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR) -> (1 <_ A <-> (1 + B) <_ (A + B)))
20	5, 19	mp3an1 1178	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (1 <_ A <-> (1 + B) <_ (A + B)))
21	20, 2, 3	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 <_ A <-> (1 + B) <_ (A + B)))
22	18, 21	mpbid 212	. . . . 5 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + B) <_ (A + B))
23	7, 10, 4, 16, 22	letrd 6696	. . . 4 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 + 1) <_ (A + B))
24	5	ltp1i 6991	. . . 4 |- 1 < (1 + 1)
25	23, 24	jctil 316	. . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 < (1 + 1) /\ (1 + 1) <_ (A + B)))
26		ltletr 6694	. . . 4 |- ((1 e. RR /\ (1 + 1) e. RR /\ (A + B) e. RR) -> ((1 < (1 + 1) /\ (1 + 1) <_ (A + B)) -> 1 < (A + B)))
27	5, 6, 26	mp3an12 1181	. . 3 |- ((A + B) e. RR -> ((1 < (1 + 1) /\ (1 + 1) <_ (A + B)) -> 1 < (A + B)))
28	4, 25, 27	sylc 83	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> 1 < (A + B))
29		nnsub 7141	. . 3 |- ((1 e. NN /\ (A + B) e. NN) -> (1 < (A + B) <-> ((A + B) - 1) e. NN))
30		1nn 7117	. . 3 |- 1 e. NN
31		nnaddcl 7123	. . 3 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (A + B) e. NN)
32	29, 30, 31	sylancr 526	. 2 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> (1 < (A + B) <-> ((A + B) - 1) e. NN))
33	28, 32	mpbid 212	1 |- ((A e. NN /\ B e. NN) -> ((A + B) - 1) e. NN)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NNcn 6449   < clt 6653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108

Copyright terms: Public domain