MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaddcld Structured version   Unicode version

Theorem nnaddcld 10589
Description: Closure of addition of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnge1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
nnmulcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
nnaddcld  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnaddcld
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 nnmulcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 nnaddcl 10565 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  +  B
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804  (class class class)co 6281    + caddc 9498   NNcn 10543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-addass 9560  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-nn 10544
This theorem is referenced by:  pythagtriplem4  14325  pythagtriplem6  14327  pythagtriplem7  14328  pythagtriplem11  14331  pythagtriplem13  14333  pythagtriplem15  14335  vdwlem1  14481  vdwlem3  14483  vdwlem5  14485  vdwlem6  14486  vdwlem8  14488  vdwlem9  14489  vdwlem10  14490  vdwlem11  14491  gsumccat  15988  aaliou3lem8  22719  lgsqrlem2  23595  lgseisenlem2  23603  2sqmod  27614  ballotlem5  28416  faclimlem1  29144  faclimlem2  29145  faclim2  29149
  Copyright terms: Public domain W3C validator