MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaddcl Structured version   Unicode version

Theorem nnaddcl 10336
Description: Closure of addition of positive integers, proved by induction on the second addend. (Contributed by NM, 12-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnaddcl  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  +  B
)  e.  NN )

Proof of Theorem nnaddcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A  +  x )  =  ( A  + 
1 ) )
21eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  +  x
)  e.  NN  <->  ( A  +  1 )  e.  NN ) )
32imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  +  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN ) ) )
4 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  y ) )
54eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +  x
)  e.  NN  <->  ( A  +  y )  e.  NN ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  +  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  +  y )  e.  NN ) ) )
7 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  ( y  +  1 ) ) )
87eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  +  x
)  e.  NN  <->  ( A  +  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
98imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  +  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  +  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
10 oveq2 6094 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  +  x )  =  ( A  +  B ) )
1110eleq1d 2504 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  +  x
)  e.  NN  <->  ( A  +  B )  e.  NN ) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  +  x
)  e.  NN )  <-> 
( A  e.  NN  ->  ( A  +  B
)  e.  NN ) ) )
13 peano2nn 10326 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
14 peano2nn 10326 . . . . . 6  |-  ( ( A  +  y )  e.  NN  ->  (
( A  +  y )  +  1 )  e.  NN )
15 nncn 10322 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
16 nncn 10322 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
17 ax-1cn 9332 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
18 addass 9361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( A  +  y )  +  1 )  =  ( A  +  ( y  +  1 ) ) )
1917, 18mp3an3 1303 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A  +  y )  +  1 )  =  ( A  +  ( y  +  1 ) ) )
2015, 16, 19syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  +  y )  +  1 )  =  ( A  +  ( y  +  1 ) ) )
2120eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( A  +  y )  +  1 )  e.  NN  <->  ( A  +  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
2214, 21syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( A  +  y )  e.  NN  ->  ( A  +  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) )
2322expcom 435 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( ( A  +  y )  e.  NN  ->  ( A  +  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
2423a2d 26 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( A  e.  NN  ->  ( A  +  y )  e.  NN )  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  ( y  +  1 ) )  e.  NN ) ) )
253, 6, 9, 12, 13, 24nnind 10332 . 2  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  B )  e.  NN ) )
2625impcom 430 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  +  B
)  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272   1c1 9275    + caddc 9277   NNcn 10314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-addass 9339  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-nn 10315
This theorem is referenced by:  nnmulcl  10337  nnaddcld  10360  nnnn0addcl  10602  nn0addcl  10607  zaddcl  10677  xpnnenOLD  13484  pythagtriplem4  13878  vdwapun  14027  vdwap1  14030  vdwlem2  14035  mulgnndir  15640  uniioombllem3  21040  ballotlem1  26821  ballotlem2  26823  ballotlemfmpn  26829  ballotlem4  26833  ballotlemimin  26840  ballotlemsdom  26846  ballotlemsel1i  26847  ballotlemfrceq  26863  ballotlemfrcn0  26864  ballotlem1ri  26869  ballotth  26872  nndivsub  28255
  Copyright terms: Public domain W3C validator