Theorem nnacom 5288

Description: Addition of natural numbers is commutative. Theorem 4K(2) of [Enderton] p. 81.

Assertion

Ref	Expression
nnacom	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) = (B +o A))

Proof of Theorem nnacom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x +o B) = ((/) +o B))
2		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = (/) -> (B +o x) = (B +o (/)))
3	1, 2	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = (/) -> ((x +o B) = (B +o x) <-> ((/) +o B) = (B +o (/))))
4	3	imbi2d 674	. . 3 |- (x = (/) -> ((B e. om -> (x +o B) = (B +o x)) <-> (B e. om -> ((/) +o B) = (B +o (/)))))
5		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = y -> (x +o B) = (y +o B))
6		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = y -> (B +o x) = (B +o y))
7	5, 6	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = y -> ((x +o B) = (B +o x) <-> (y +o B) = (B +o y)))
8	7	imbi2d 674	. . 3 |- (x = y -> ((B e. om -> (x +o B) = (B +o x)) <-> (B e. om -> (y +o B) = (B +o y))))
9		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = suc y -> (x +o B) = (suc y +o B))
10		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = suc y -> (B +o x) = (B +o suc y))
11	9, 10	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = suc y -> ((x +o B) = (B +o x) <-> (suc y +o B) = (B +o suc y)))
12	11	imbi2d 674	. . 3 |- (x = suc y -> ((B e. om -> (x +o B) = (B +o x)) <-> (B e. om -> (suc y +o B) = (B +o suc y))))
13		opreq1 4889	. . . . 5 |- (x = A -> (x +o B) = (A +o B))
14		opreq2 4890	. . . . 5 |- (x = A -> (B +o x) = (B +o A))
15	13, 14	eqeq12d 1899	. . . 4 |- (x = A -> ((x +o B) = (B +o x) <-> (A +o B) = (B +o A)))
16	15	imbi2d 674	. . 3 |- (x = A -> ((B e. om -> (x +o B) = (B +o x)) <-> (B e. om -> (A +o B) = (B +o A))))
17		nna0r 5279	. . . 4 |- (B e. om -> ((/) +o B) = B)
18		nna0 5275	. . . 4 |- (B e. om -> (B +o (/)) = B)
19	17, 18	eqtr4d 1928	. . 3 |- (B e. om -> ((/) +o B) = (B +o (/)))
20		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> (suc y +o x) = (suc y +o (/)))
21		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (/) -> (y +o x) = (y +o (/)))
22		suceq 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +o x) = (y +o (/)) -> suc (y +o x) = suc (y +o (/)))
23	21, 22	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (/) -> suc (y +o x) = suc (y +o (/)))
24	20, 23	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . 10 |- (x = (/) -> ((suc y +o x) = suc (y +o x) <-> (suc y +o (/)) = suc (y +o (/))))
25	24	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (x = (/) -> ((y e. om -> (suc y +o x) = suc (y +o x)) <-> (y e. om -> (suc y +o (/)) = suc (y +o (/)))))
26		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> (suc y +o x) = (suc y +o z))
27		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z -> (y +o x) = (y +o z))
28		suceq 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +o x) = (y +o z) -> suc (y +o x) = suc (y +o z))
29	27, 28	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> suc (y +o x) = suc (y +o z))
30	26, 29	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> ((suc y +o x) = suc (y +o x) <-> (suc y +o z) = suc (y +o z)))
31	30	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> ((y e. om -> (suc y +o x) = suc (y +o x)) <-> (y e. om -> (suc y +o z) = suc (y +o z))))
32		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = suc z -> (suc y +o x) = (suc y +o suc z))
33		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = suc z -> (y +o x) = (y +o suc z))
34		suceq 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +o x) = (y +o suc z) -> suc (y +o x) = suc (y +o suc z))
35	33, 34	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x = suc z -> suc (y +o x) = suc (y +o suc z))
36	32, 35	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . 10 |- (x = suc z -> ((suc y +o x) = suc (y +o x) <-> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z)))
37	36	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (x = suc z -> ((y e. om -> (suc y +o x) = suc (y +o x)) <-> (y e. om -> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
38		opreq2 4890	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (suc y +o x) = (suc y +o B))
39		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = B -> (y +o x) = (y +o B))
40		suceq 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y +o x) = (y +o B) -> suc (y +o x) = suc (y +o B))
41	39, 40	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> suc (y +o x) = suc (y +o B))
42	38, 41	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> ((suc y +o x) = suc (y +o x) <-> (suc y +o B) = suc (y +o B)))
43	42	imbi2d 674	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> ((y e. om -> (suc y +o x) = suc (y +o x)) <-> (y e. om -> (suc y +o B) = suc (y +o B))))
44		peano2b 3968	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om <-> suc y e. om)
45		nna0 5275	. . . . . . . . . . 11 |- (suc y e. om -> (suc y +o (/)) = suc y)
46	44, 45	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> (suc y +o (/)) = suc y)
47		nna0 5275	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. om -> (y +o (/)) = y)
48		suceq 3729	. . . . . . . . . . 11 |- ((y +o (/)) = y -> suc (y +o (/)) = suc y)
49	47, 48	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (y e. om -> suc (y +o (/)) = suc y)
50	46, 49	eqtr4d 1928	. . . . . . . . 9 |- (y e. om -> (suc y +o (/)) = suc (y +o (/)))
51		oasuc 5208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((suc y e. On /\ z e. On) -> (suc y +o suc z) = suc (suc y +o z))
52		nnon 3957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. om -> y e. On)
53		suceloni 3894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y e. On -> suc y e. On)
54	52, 53	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. om -> suc y e. On)
55		nnon 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z e. om -> z e. On)
56	51, 54, 55	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (suc y +o suc z) = suc (suc y +o z))
57	52, 55	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. om /\ z e. om) -> (y e. On /\ z e. On))
58		oasuc 5208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. On /\ z e. On) -> (y +o suc z) = suc (y +o z))
59		suceq 3729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y +o suc z) = suc (y +o z) -> suc (y +o suc z) = suc suc (y +o z))
60	57, 58, 59	3syl 24	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. om /\ z e. om) -> suc (y +o suc z) = suc suc (y +o z))
61	56, 60	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. om /\ z e. om) -> ((suc y +o suc z) = suc (y +o suc z) <-> suc (suc y +o z) = suc suc (y +o z)))
62		suceq 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- ((suc y +o z) = suc (y +o z) -> suc (suc y +o z) = suc suc (y +o z))
63	61, 62	syl5bir 227	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. om /\ z e. om) -> ((suc y +o z) = suc (y +o z) -> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z)))
64	63	expcom 403	. . . . . . . . . 10 |- (z e. om -> (y e. om -> ((suc y +o z) = suc (y +o z) -> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
65	64	a2d 16	. . . . . . . . 9 |- (z e. om -> ((y e. om -> (suc y +o z) = suc (y +o z)) -> (y e. om -> (suc y +o suc z) = suc (y +o suc z))))
66	25, 31, 37, 43, 50, 65	finds 3979	. . . . . . . 8 |- (B e. om -> (y e. om -> (suc y +o B) = suc (y +o B)))
67	66	imp 377	. . . . . . 7 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (suc y +o B) = suc (y +o B))
68		nnasuc 5277	. . . . . . 7 |- ((B e. om /\ y e. om) -> (B +o suc y) = suc (B +o y))
69	67, 68	eqeq12d 1899	. . . . . 6 |- ((B e. om /\ y e. om) -> ((suc y +o B) = (B +o suc y) <-> suc (y +o B) = suc (B +o y)))
70		suceq 3729	. . . . . 6 |- ((y +o B) = (B +o y) -> suc (y +o B) = suc (B +o y))
71	69, 70	syl5bir 227	. . . . 5 |- ((B e. om /\ y e. om) -> ((y +o B) = (B +o y) -> (suc y +o B) = (B +o suc y)))
72	71	expcom 403	. . . 4 |- (y e. om -> (B e. om -> ((y +o B) = (B +o y) -> (suc y +o B) = (B +o suc y))))
73	72	a2d 16	. . 3 |- (y e. om -> ((B e. om -> (y +o B) = (B +o y)) -> (B e. om -> (suc y +o B) = (B +o suc y))))
74	4, 8, 12, 16, 19, 73	finds 3979	. 2 |- (A e. om -> (B e. om -> (A +o B) = (B +o A)))
75	74	imp 377	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A +o B) = (B +o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (/)c0 2875  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949  (class class class)co 4884   +o coa 5174

This theorem is referenced by:  nnaordr 5291  nnmsucr 5295  nnmsucrOLD 5296  nnaword2 5302  addcompi 6174

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179

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