MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacl Structured version   Unicode version

Theorem nnacl 7320
Description: Closure of addition of natural numbers. Proposition 8.9 of [TakeutiZaring] p. 59. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnacl  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )

Proof of Theorem nnacl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6313 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  B
) )
21eleq1d 2498 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  +o  x
)  e.  om  <->  ( A  +o  B )  e.  om ) )
32imbi2d 317 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  +o  x
)  e.  om )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  B )  e.  om ) ) )
4 oveq2 6313 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  (/) ) )
54eleq1d 2498 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  +o  x )  e.  om  <->  ( A  +o  (/) )  e.  om ) )
6 oveq2 6313 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  +o  x )  =  ( A  +o  y
) )
76eleq1d 2498 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  +o  x
)  e.  om  <->  ( A  +o  y )  e.  om ) )
8 oveq2 6313 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  +o  x
)  =  ( A  +o  suc  y ) )
98eleq1d 2498 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  +o  x )  e.  om  <->  ( A  +o  suc  y
)  e.  om )
)
10 nna0 7313 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  =  A )
1110eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  (
( A  +o  (/) )  e. 
om 
<->  A  e.  om )
)
1211ibir 245 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  (/) )  e.  om )
13 peano2 6727 . . . . . 6  |-  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  suc  ( A  +o  y
)  e.  om )
14 nnasuc 7315 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +o  suc  y )  =  suc  ( A  +o  y
) )
1514eleq1d 2498 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +o  suc  y )  e.  om  <->  suc  ( A  +o  y
)  e.  om )
)
1613, 15syl5ibr 224 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  +o  y )  e.  om  ->  ( A  +o  suc  y )  e.  om ) )
1716expcom 436 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  +o  y
)  e.  om  ->  ( A  +o  suc  y
)  e.  om )
) )
185, 7, 9, 12, 17finds2 6735 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  x )  e.  om ) )
193, 18vtoclga 3151 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  +o  B )  e.  om ) )
2019impcom 431 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  +o  B
)  e.  om )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   (/)c0 3767   suc csuc 5444  (class class class)co 6305   omcom 6706    +o coa 7187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-oadd 7194
This theorem is referenced by:  nnmcl  7321  nnacli  7323  nnarcl  7325  nnaord  7328  nnawordi  7330  nnaass  7331  nndi  7332  nnaword  7336  nnawordex  7346  oaabslem  7352  unfilem1  7841  unfi  7844  nnacda  8629  ficardun  8630  ficardun2  8631  pwsdompw  8632  addclpi  9316  hashgadd  12553  hashdom  12555
  Copyright terms: Public domain W3C validator