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Theorem nn2ge 10347
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnre 10329 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
21adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 nnre 10329 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
43adantl 466 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
5 leid 9470 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
65biantrud 507 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
76biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
83, 7sylan 471 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
9 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
10 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  B ) )
119, 10anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1211rspcev 3073 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
138, 12syldan 470 . . 3  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
1413adantll 713 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A  <_  B
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
15 leid 9470 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
1615anim1i 568 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
171, 16sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
18 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  A ) )
19 breq2 4296 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  A ) )
2018, 19anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) ) )
2120rspcev 3073 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2217, 21syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2322adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  B  <_  A
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
242, 4, 14, 23lecasei 9480 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   class class class wbr 4292   RRcr 9281    <_ cle 9419   NNcn 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-nn 10323
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