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Theorem nn2ge 10601
Description: There exists a positive integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nn2ge  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem nn2ge
StepHypRef Expression
1 nnre 10583 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
3 nnre 10583 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
43adantl 464 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
5 leid 9711 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
65biantrud 505 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
76biimpa 482 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
83, 7sylan 469 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  -> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )
9 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
10 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  B ) )
119, 10anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  B  /\  B  <_  B ) ) )
1211rspcev 3160 . . . 4  |-  ( ( B  e.  NN  /\  ( A  <_  B  /\  B  <_  B ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
138, 12syldan 468 . . 3  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
1413adantll 712 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  A  <_  B
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
15 leid 9711 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
1615anim1i 566 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
171, 16sylan 469 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  -> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )
18 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  A ) )
19 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( B  <_  x  <->  B  <_  A ) )
2018, 19anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  <_  x  /\  B  <_  x )  <-> 
( A  <_  A  /\  B  <_  A ) ) )
2120rspcev 3160 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  ( A  <_  A  /\  B  <_  A ) )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2217, 21syldan 468 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  <_  A )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
2322adantlr 713 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  B  <_  A
)  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x
) )
242, 4, 14, 23lecasei 9722 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  ( A  <_  x  /\  B  <_  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2755   class class class wbr 4395   RRcr 9521    <_ cle 9659   NNcn 10576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-nn 10577
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