Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1suc Structured version   Unicode version

Theorem nn1suc 10557
 Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1
nn1suc.3
nn1suc.4
nn1suc.5
nn1suc.6
Assertion
Ref Expression
nn1suc
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5
2 1ex 9591 . . . . . 6
3 nn1suc.1 . . . . . 6
42, 3sbcie 3366 . . . . 5
51, 4mpbir 209 . . . 4
6 1nn 10547 . . . . . . 7
7 eleq1 2539 . . . . . . 7
86, 7mpbiri 233 . . . . . 6
9 nn1suc.4 . . . . . . 7
109sbcieg 3364 . . . . . 6
118, 10syl 16 . . . . 5
12 dfsbcq 3333 . . . . 5
1311, 12bitr3d 255 . . . 4
145, 13mpbiri 233 . . 3
1514a1i 11 . 2
16 ovex 6309 . . . . . 6
17 nn1suc.3 . . . . . 6
1816, 17sbcie 3366 . . . . 5
19 oveq1 6291 . . . . . 6
20 dfsbcq 3333 . . . . . 6
2119, 20syl 16 . . . . 5
2218, 21syl5bbr 259 . . . 4
23 nn1suc.6 . . . 4
2422, 23vtoclga 3177 . . 3
25 nncn 10544 . . . . . 6
26 ax-1cn 9550 . . . . . 6
27 npcan 9829 . . . . . 6
2825, 26, 27sylancl 662 . . . . 5
29 dfsbcq 3333 . . . . 5
3028, 29syl 16 . . . 4
3130, 10bitrd 253 . . 3
3224, 31syl5ib 219 . 2
33 nn1m1nn 10556 . 2
3415, 32, 33mpjaod 381 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1379   wcel 1767  wsbc 3331  (class class class)co 6284  cc 9490  c1 9493   caddc 9495   cmin 9805  cn 10536 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-sub 9807  df-nn 10537 This theorem is referenced by:  opsqrlem6  26768
 Copyright terms: Public domain W3C validator