MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1m1nn Unicode version

Theorem nn1m1nn 9976
Description: Every natural number is one or a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn1m1nn  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  =  1  \/  ( A  -  1
)  e.  NN ) )

Proof of Theorem nn1m1nn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 375 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  1  \/  ( x  -  1 )  e.  NN ) )
2 ax-1cn 9004 . . . 4  |-  1  e.  CC
32a1i 11 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  1  e.  CC )
41, 32thd 232 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
( x  =  1  \/  ( x  - 
1 )  e.  NN ) 
<->  1  e.  CC ) )
5 eqeq1 2410 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  1  <->  y  =  1 ) )
6 oveq1 6047 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  -  1 )  =  ( y  - 
1 ) )
76eleq1d 2470 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  -  1 )  e.  NN  <->  ( y  -  1 )  e.  NN ) )
85, 7orbi12d 691 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  =  1  \/  ( x  - 
1 )  e.  NN ) 
<->  ( y  =  1  \/  ( y  - 
1 )  e.  NN ) ) )
9 eqeq1 2410 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  =  1  <->  (
y  +  1 )  =  1 ) )
10 oveq1 6047 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  -  1 )  =  ( ( y  +  1 )  - 
1 ) )
1110eleq1d 2470 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
y  +  1 )  -  1 )  e.  NN ) )
129, 11orbi12d 691 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  =  1  \/  ( x  - 
1 )  e.  NN ) 
<->  ( ( y  +  1 )  =  1  \/  ( ( y  +  1 )  - 
1 )  e.  NN ) ) )
13 eqeq1 2410 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  1  <->  A  =  1 ) )
14 oveq1 6047 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  -  1 )  =  ( A  - 
1 ) )
1514eleq1d 2470 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  -  1 )  e.  NN  <->  ( A  -  1 )  e.  NN ) )
1613, 15orbi12d 691 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  =  1  \/  ( x  - 
1 )  e.  NN ) 
<->  ( A  =  1  \/  ( A  - 
1 )  e.  NN ) ) )
17 nncn 9964 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
18 pncan 9267 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
1917, 2, 18sylancl 644 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
20 id 20 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN )
2119, 20eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 )  -  1 )  e.  NN )
2221olcd 383 . . 3  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 )  =  1  \/  ( ( y  +  1 )  -  1 )  e.  NN ) )
2322a1d 23 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  =  1  \/  ( y  - 
1 )  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  =  1  \/  ( ( y  +  1 )  -  1 )  e.  NN ) ) )
244, 8, 12, 16, 2, 23nnind 9974 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  =  1  \/  ( A  -  1
)  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    - cmin 9247   NNcn 9956
This theorem is referenced by:  nn1suc  9977  nnsub  9994  nnm1nn0  10217  elfznelfzo  11147  ballotlemfc0  24703  ballotlemfcc  24704  stirlinglem5  27694
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-nn 9957
  Copyright terms: Public domain W3C validator