MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0suppOLD Structured version   Unicode version

Theorem nn0suppOLD 10890
Description: Two ways to write the support of a function on  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) Obsolete version of frnnn0supp 10889 as of 7-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nn0suppOLD  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN ) )

Proof of Theorem nn0suppOLD
StepHypRef Expression
1 dfn2 10848 . . . 4  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
2 invdif 3690 . . . 4  |-  ( NN0 
i^i  ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( NN0  \  { 0 } )
31, 2eqtr4i 2434 . . 3  |-  NN  =  ( NN0  i^i  ( _V 
\  { 0 } ) )
43imaeq2i 5154 . 2  |-  ( `' F " NN )  =  ( `' F " ( NN0  i^i  ( _V  \  { 0 } ) ) )
5 ffun 5715 . . . 4  |-  ( F : I --> NN0  ->  Fun 
F )
6 inpreima 5991 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( NN0  i^i  ( _V  \  { 0 } ) ) )  =  ( ( `' F " NN0 )  i^i  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) ) )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( NN0 
i^i  ( _V  \  { 0 } ) ) )  =  ( ( `' F " NN0 )  i^i  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) ) ) )
8 cnvimass 5176 . . . . 5  |-  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  dom  F
9 fdm 5717 . . . . . 6  |-  ( F : I --> NN0  ->  dom 
F  =  I )
10 fimacnv 5996 . . . . . 6  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " NN0 )  =  I )
119, 10eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( F : I --> NN0  ->  dom 
F  =  ( `' F " NN0 )
)
128, 11syl5sseq 3489 . . . 4  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  ( `' F " NN0 )
)
13 sseqin2 3657 . . . 4  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  C_  ( `' F " NN0 )  <->  ( ( `' F " NN0 )  i^i  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) ) )  =  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) )
1412, 13sylib 196 . . 3  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( ( `' F " NN0 )  i^i  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) ) )  =  ( `' F "
( _V  \  {
0 } ) ) )
157, 14eqtrd 2443 . 2  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( NN0 
i^i  ( _V  \  { 0 } ) ) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) ) )
164, 15syl5req 2456 1  |-  ( F : I --> NN0  ->  ( `' F " ( _V 
\  { 0 } ) )  =  ( `' F " NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    i^i cin 3412    C_ wss 3413   {csn 3971   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   "cima 4825   Fun wfun 5562   -->wf 5564   0cc0 9521   NNcn 10575   NN0cn0 10835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836
This theorem is referenced by:  psrbaglesuppOLD  18336  psrbagaddclOLD  18339  psrbaglefiOLD  18342  psrbasOLD  18349  psrlidmOLD  18375  psrridmOLD  18377  mvridlemOLD  18393  mplcoe3OLD  18447  mplcoe2OLD  18451  mplbas2OLD  18453  psrbagsuppfiOLD  18494
  Copyright terms: Public domain W3C validator