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Theorem nn0sumshdiglemB 38732
Description: Lemma for nn0sumshdig 38735 (induction step, odd multiplicant). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglemB  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
Distinct variable group:    k, a, x, y

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 11202 . . 3  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  =  1  \/  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2 1t1e1 10723 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
32eqcomi 2415 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1  x.  1 )
4 simpl 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  1  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
a  =  1 )
5 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  +  1 )  =  (#b `  a
)  ->  ( 0..^ ( y  +  1 ) )  =  ( 0..^ (#b `  a
) ) )
65eqcoms 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (#b
`  a )  =  ( y  +  1 )  ->  ( 0..^ ( y  +  1 ) )  =  ( 0..^ (#b `  a
) ) )
7 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  1  ->  (#b `  a )  =  (#b
`  1 ) )
8 blen1 38696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (#b ` 
1 )  =  1
97, 8syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  1  ->  (#b `  a )  =  1 )
109oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
0..^ (#b `  a
) )  =  ( 0..^ 1 ) )
11 fzo01 11931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
1210, 11syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
0..^ (#b `  a
) )  =  {
0 } )
136, 12sylan9eqr 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  1  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
( 0..^ ( y  +  1 ) )  =  { 0 } )
1413sumeq1d 13670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  1  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) )  =  sum_ k  e.  { 0 }  ( ( k (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ k ) ) )
15 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  1  ->  (
k (digit `  2
) a )  =  ( k (digit ` 
2 ) 1 ) )
1615oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( k (digit `  2 ) 1 )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
1716sumeq2sdv 13673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  sum_ k  e.  { 0 }  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  = 
sum_ k  e.  {
0 }  ( ( k (digit `  2
) 1 )  x.  ( 2 ^ k
) ) )
18 c0ex 9619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
19 ax-1cn 9579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
2019, 19mulcli 9630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  x.  1 )  e.  CC
21 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
k (digit `  2
) 1 )  =  ( 0 (digit ` 
2 ) 1 ) )
22 1ex 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  _V
2322prid2 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
24 0dig2pr01 38722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  { 0 ,  1 }  ->  (
0 (digit `  2
) 1 )  =  1 )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 (digit `  2 )
1 )  =  1
2621, 25syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  0  ->  (
k (digit `  2
) 1 )  =  1 )
27 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  0  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ 0 ) )
28 2cn 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
29 exp0 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
3127, 30syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  0  ->  (
2 ^ k )  =  1 )
3226, 31oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  (
( k (digit ` 
2 ) 1 )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
3332sumsn 13710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( 1  x.  1 )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  {
0 }  ( ( k (digit `  2
) 1 )  x.  ( 2 ^ k
) )  =  ( 1  x.  1 ) )
3418, 20, 33mp2an 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  { 0 }  (
( k (digit ` 
2 ) 1 )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( 1  x.  1 )
3517, 34syl6eq 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  sum_ k  e.  { 0 }  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
3635adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  1  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { 0 }  ( ( k (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ k ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
3714, 36eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  1  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) )  =  ( 1  x.  1 ) )
383, 4, 373eqtr4a 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  1  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
3938ex 432 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  (
(#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )
4039a1d 25 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
4140a1d 25 . . . . 5  |-  ( a  =  1  ->  (
y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) )
4241a1d 25 . . . 4  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) ) )
43 eluzge2nn0 11165 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  a  e.  NN0 )
44 nn0ob 38631 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( ( ( a  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )
4544bicomd 201 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( a  +  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )
4643, 45syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( a  +  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )
47 blennngt2o2 38704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( a  +  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
(#b `  a )  =  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  +  1 ) )
4847ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( a  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  (#b `  a )  =  ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) )
4946, 48sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  (#b `  a )  =  ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) )
5049imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
(#b `  a )  =  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  +  1 ) )
51 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  ->  (#b `  x )  =  (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) )
5251eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  ->  (
(#b `  x )  =  y  <->  (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  y ) )
53 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  ->  x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )
54 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  ->  (
k (digit `  2
) x )  =  ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) )
5554oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  ->  (
( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
5655sumeq2sdv 13673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
5753, 56eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) )  <-> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )
5852, 57imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  ->  (
( (#b `  x
)  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  <->  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  =  y  ->  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
5958rspcva 3157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
(#b `  x )  =  y  ->  x  = 
sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )  ->  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  =  y  ->  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) )
60 eqeq1 2406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (#b
`  a )  =  ( y  +  1 )  ->  ( (#b `  a )  =  ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  <->  ( y  +  1 )  =  ( (#b `  (
( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 ) ) )
61 nncn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
6261ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  y  e.  CC )
63 blennn0elnn 38689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  e.  NN )
6463nncnd 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  e.  CC )
6564adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
(#b `  ( (
a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
6665ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  (#b `  (
( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
67 1cnd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  1  e.  CC )
6862, 66, 67addcan2d 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( (
y  +  1 )  =  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  <->  y  =  (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
69 eqcom 2411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  (#b `  (
( a  -  1 )  /  2 ) )  <->  (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  y )
70 nnz 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
7170ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  y  e.  ZZ )
72 fzval3 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
0 ... y )  =  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( 0 ... y )  =  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
7473eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( 0..^ ( y  +  1 ) )  =  ( 0 ... y ) )
7574sumeq1d 13670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... y ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
76 nnnn0 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
77 elnn0uz 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  NN0  <->  y  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
7876, 77sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
7978ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  y  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
80 2nn 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  2  e.  NN
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... y ) )  ->  2  e.  NN )
82 elfzelz 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  k  e.  ZZ )
8382adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... y ) )  ->  k  e.  ZZ )
84 nn0rp0 38616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8543, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8685adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
8786adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... y ) )  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo )
)
88 digvalnn0 38711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e. 
NN0 )
8981, 83, 87, 88syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  k  e.  ( 0 ... y ) )  ->  ( k (digit `  2 ) a )  e.  NN0 )
9089ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... y )  ->  ( k (digit `  2 ) a )  e.  NN0 )
)
9190ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( k  e.  ( 0 ... y
)  ->  ( k
(digit `  2 )
a )  e.  NN0 ) )
9291imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e. 
NN0 )
9392nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e.  CC )
94 2nn0 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  2  e.  NN0
9594a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  2  e.  NN0 )
96 elfznn0 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  k  e.  NN0 )
9795, 96nn0expcld 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN0 )
9897nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
9998adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
10093, 99mulcld 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
101 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  0  ->  (
k (digit `  2
) a )  =  ( 0 (digit ` 
2 ) a ) )
102101, 27oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  0  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 0 (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ 0 ) ) )
10330oveq2i 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 0 (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ 0 ) )  =  ( ( 0 (digit ` 
2 ) a )  x.  1 )
104102, 103syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  =  0  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 0 (digit `  2 ) a )  x.  1 ) )
10579, 100, 104fsum1p 13717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... y
) ( ( k (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ k ) )  =  ( ( ( 0 (digit ` 
2 ) a )  x.  1 )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )
10643adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
a  e.  NN0 )
10743, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( a  +  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 ) )
108107biimparc 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( a  +  1 )  /  2
)  e.  NN0 )
109 0dig2nn0o 38725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  ( ( a  +  1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( 0 (digit ` 
2 ) a )  =  1 )
110106, 108, 109syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 0 (digit ` 
2 ) a )  =  1 )
111110ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( 0 (digit `  2 )
a )  =  1 )
112111oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( (
0 (digit `  2
) a )  x.  1 )  =  ( 1  x.  1 ) )
113112, 2syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( (
0 (digit `  2
) a )  x.  1 )  =  1 )
114 1z 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  ZZ
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  1  e.  ZZ )
116 0p1e1 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( 0  +  1 )  =  1
117116, 114eqeltri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 0  +  1 )  e.  ZZ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( 0  +  1 )  e.  ZZ )
11980a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  2  e.  NN )
120 elfzelz 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  k  e.  ZZ )
121120adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  k  e.  ZZ )
12243adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  a  e.  NN0 )
123122, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
124119, 121, 123, 88syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e. 
NN0 )
125124ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
)  ->  ( k
(digit `  2 )
a )  e.  NN0 ) )
126125adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  ( k (digit `  2 ) a )  e.  NN0 )
)
127126ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
)  ->  ( k
(digit `  2 )
a )  e.  NN0 ) )
128127imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e. 
NN0 )
129128nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e.  CC )
130 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  2  e.  CC )
131 elfznn 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  e.  ( 1 ... y )  ->  k  e.  NN )
132131nnnn0d 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( 1 ... y )  ->  k  e.  NN0 )
133116oveq1i 6287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 0  +  1 ) ... y )  =  ( 1 ... y
)
134132, 133eleq2s 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  k  e.  NN0 )
135130, 134expcld 12352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
136135adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
137129, 136mulcld 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
138 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
k (digit `  2
) a )  =  ( ( i  +  1 ) (digit ` 
2 ) a ) )
139 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) )
140138, 139oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )
141115, 118, 71, 137, 140fsumshftm 13745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) ( ( k (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ k ) )  =  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )
142113, 141oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( (
( 0 (digit ` 
2 ) a )  x.  1 )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  =  ( 1  +  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) ) )
14375, 105, 1423eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( 1  + 
sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) ) )
144143adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) )  =  ( 1  +  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ ( i  +  1 ) ) ) ) )
14580a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
2  e.  NN )
146 elfzoelz 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  i  e.  ZZ )
147146adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
i  e.  ZZ )
148 nn0rp0 38616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
149148adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
150149adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
151 digvalnn0 38711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  i  e.  ZZ  /\  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
i (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
NN0 )
152145, 147, 150, 151syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  NN0 )
153152nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
154153ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ y )  -> 
( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC ) )
155154ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC ) )
156155imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( i
(digit `  2 )
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  e.  CC )
15794a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  2  e.  NN0 )
158 elfzonn0 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  i  e.  NN0 )
159157, 158nn0expcld 12374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ i )  e. 
NN0 )
160159nn0cnd 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ i )  e.  CC )
161160adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( 2 ^ i )  e.  CC )
162 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  2  e.  CC )
163156, 161, 162mulassd 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 )  =  ( ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) ) )
164163eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
i (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )  =  ( ( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
165164sumeq2dv 13672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
166165adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
167 0cn 9617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  0  e.  CC
168 pncan1 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( 0  +  1 )  -  1 )  =  0 )
169167, 168ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 0  +  1 )  -  1 )  =  0
170169a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 )  -  1 )  =  0 )
171170oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( y  -  1 ) ) )
172 fzoval 11858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
0..^ y )  =  ( 0 ... (
y  -  1 ) ) )
17370, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  e.  NN  ->  (
0..^ y )  =  ( 0 ... (
y  -  1 ) ) )
174171, 173eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) )  =  ( 0..^ y ) )
175174ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( (
( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  - 
1 ) )  =  ( 0..^ y ) )
176 simprlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
177 elfznn0 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( i  e.  ( 0 ... ( y  -  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
178169oveq1i 6287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
y  -  1 ) )
179177, 178eleq2s 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) )  ->  i  e.  NN0 )
180 dignn0flhalf 38730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( i  +  1 ) (digit `  2
) a )  =  ( i (digit ` 
2 ) ( |_
`  ( a  / 
2 ) ) ) )
181176, 179, 180syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) )  ->  (
( i  +  1 ) (digit `  2
) a )  =  ( i (digit ` 
2 ) ( |_
`  ( a  / 
2 ) ) ) )
182 eluzelz 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  a  e.  ZZ )
183182adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
a  e.  ZZ )
184 nn0z 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
185 zob 37697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( a  e.  ZZ  ->  (
( ( a  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
186182, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( a  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
187184, 186syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( a  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
188187imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( ( a  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ )
189183, 188jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( a  e.  ZZ  /\  ( ( a  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
190189ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( a  e.  ZZ  /\  ( ( a  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
191190ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( a  e.  ZZ  /\  ( ( a  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
192191adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) )  ->  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( a  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
193 zofldiv2 38639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( ( a  +  1 )  /  2
)  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( a  /  2
) )  =  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )
194192, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) )  ->  ( |_ `  ( a  / 
2 ) )  =  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )
195194oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) )  ->  (
i (digit `  2
) ( |_ `  ( a  /  2
) ) )  =  ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) )
196181, 195eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) )  ->  (
( i  +  1 ) (digit `  2
) a )  =  ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) )
197 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) )  ->  2  e.  CC )
198197, 179expp1d 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) )  ->  (
2 ^ ( i  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )
199198adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) )  ->  (
2 ^ ( i  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )
200196, 199oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  /\  i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) )  ->  (
( ( i  +  1 ) (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) ) )
201175, 200sumeq12dv 13675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ ( i  +  1 ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) ) )
202201adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  - 
1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) )  = 
sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) ) )
203 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  =  i  ->  (
k (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) )
204 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( k  =  i  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ i ) )
205203, 204oveq12d 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  =  i  ->  (
( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) ) )
206205cbvsumv 13665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )
207206eqeq2i 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  = 
sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) ) )
208207biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  -> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) ) )
209208adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) ) )
210209oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  x.  2 )  =  ( sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ i
) )  x.  2 ) )
211 fzofi 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 0..^ y )  e.  Fin
212211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
( 0..^ y )  e.  Fin )
213 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
2  e.  CC )
214160adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
( 2 ^ i
)  e.  CC )
215153, 214mulcld 9645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  e.  CC )
216215ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ y )  -> 
( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  e.  CC ) )
217216adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( i  e.  ( 0..^ y )  -> 
( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  e.  CC ) )
218217ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
( i  e.  ( 0..^ y )  -> 
( ( i (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  e.  CC ) )
219218imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ k
) )  /\  (
(#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
) )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
i (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ i
) )  e.  CC )
220212, 213, 219fsummulc1 13749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
( sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
221210, 220eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  x.  2 )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i (digit `  2 )
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
2 ^ i ) )  x.  2 ) )
222166, 202, 2213eqtr4d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  - 
1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) )  =  ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  x.  2 ) )
223222oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
( 1  +  sum_ i  e.  ( (
( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  - 
1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  +  ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  x.  2 ) ) )
224 eluzelcn 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  a  e.  CC )
225 peano2cnm 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( a  e.  CC  ->  (
a  -  1 )  e.  CC )
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( a  -  1 )  e.  CC )
227 2cnd 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  CC )
228 2ne0 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  2  =/=  0
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  =/=  0 )
230226, 227, 2293jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
a  -  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
231230adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( a  - 
1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
232 divcan1 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( a  -  1 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( a  - 
1 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( a  - 
1 ) )
233231, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  x.  2 )  =  ( a  -  1 ) )
234233oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 1  +  ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  x.  2 ) )  =  ( 1  +  ( a  - 
1 ) ) )
235 1cnd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  e.  CC )
236235, 224jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  e.  CC  /\  a  e.  CC ) )
237236adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 1  e.  CC  /\  a  e.  CC ) )
238 pncan3 9863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
239237, 238syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
240234, 239eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 1  +  ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  x.  2 ) )  =  a )
241240adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( 1  +  ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  x.  2 ) )  =  a )
242241ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
( 1  +  ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  x.  2 ) )  =  a )
243144, 223, 2423eqtrrd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) ) )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
244243ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  -> 
( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN ) )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )
245244imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  y  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  =  y  ->  ( ( (#b
`  a )  =  ( y  +  1 )  /\  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
246245com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  =  y  ->  ( ( (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  =  y  ->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  = 
sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
24769, 246syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( y  =  (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  ->  ( ( (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  =  y  ->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  = 
sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
24868, 247sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  /\  (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( (
y  +  1 )  =  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  ->  ( (
(#b `  ( (
a  -  1 )  /  2 ) )  =  y  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
249248ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (#b
`  a )  =  ( y  +  1 )  ->  ( (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  +  1 )  =  ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  -> 
( ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  =  y  ->  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) )
250249com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (#b
`  a )  =  ( y  +  1 )  ->  ( (
y  +  1 )  =  ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  +  1 )  ->  ( (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( (#b `  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )  =  y  ->  ( ( a  -  1 )  / 
2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) )
25160, 250sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (#b
`  a )  =  ( y  +  1 )  ->  ( (#b `  a )  =  ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  -> 
( ( ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  y  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) )
252251com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (#b
`  a )  =  ( y  +  1 )  ->  ( (
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( (#b `  a
)  =  ( (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  ->  (
( (#b `  (
( a  -  1 )  /  2 ) )  =  y  -> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) )
253252com14 88 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  y  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( (#b `  a
)  =  ( (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  ->  (
(#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) )
254253exp4c 606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  y  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  ->  ( a  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( (#b `  a
)  =  ( (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  ->  (
(#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) ) )
255254com35 90 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  y  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0  ->  ( (#b `  a )  =  ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  -> 
( y  e.  NN  ->  ( a  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) ) )
25659, 255syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
(#b `  x )  =  y  ->  x  = 
sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )  ->  ( (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( (#b
`  a )  =  ( (#b `  (
( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( a  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) ) )
257256ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b
`  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  ->  ( (#b `  a
)  =  ( (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
(#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) ) ) )
258257pm2.43a 48 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b
`  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
(#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) ) )
259258com25 91 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (#b `  a )  =  ( (#b `  ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  -> 
( y  e.  NN  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) ) )
260259impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( (#b
`  ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) ) )
26150, 260mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )  -> 
( y  e.  NN  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) )
262261ex 432 . . . 4  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) ) )
26342, 262jaoi 377 . . 3  |-  ( ( a  =  1  \/  a  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( a  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) )
2641, 263sylbi 195 . 2  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0  ->  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) ) )
265264imp31 430 1  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   _Vcvv 3058   {csn 3971   {cpr 3973   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   CCcc 9519   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526   +oocpnf 9654    - cmin 9840    / cdiv 10246   NNcn 10575   2c2 10625   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   [,)cico 11583   ...cfz 11724  ..^cfzo 11852   |_cfl 11962   ^cexp 12208   sum_csu 13655  #bcblen 38681  digitcdig 38707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013  df-pi 14015  df-dvds 14194  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-log 23234  df-cxp 23235  df-logb 23430  df-blen 38682  df-dig 38708
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem1  38733
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