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Theorem nn0sumshdiglemA 39200
Description: Lemma for nn0sumshdig 39204 (induction step, even multiplicant). (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglemA  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  ( a  /  2
)  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
Distinct variable group:    k, a, x, y

Proof of Theorem nn0sumshdiglemA
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10876 . . . 4  |-  ( ( a  /  2 )  e.  NN  ->  (
a  /  2 )  e.  NN0 )
2 blennn0em1 39172 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( a  /  2
)  e.  NN0 )  ->  (#b `  ( a  /  2 ) )  =  ( (#b `  a )  -  1 ) )
31, 2sylan2 476 . . 3  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( a  /  2
)  e.  NN )  ->  (#b `  (
a  /  2 ) )  =  ( (#b
`  a )  - 
1 ) )
4 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  / 
2 )  ->  (#b `  x )  =  (#b
`  ( a  / 
2 ) ) )
54eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( a  / 
2 )  ->  (
(#b `  x )  =  y  <->  (#b `  ( a  /  2 ) )  =  y ) )
6 id 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  / 
2 )  ->  x  =  ( a  / 
2 ) )
7 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  / 
2 )  ->  (
k (digit `  2
) x )  =  ( k (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) ) )
87oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( a  / 
2 )  ->  (
( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
98adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( a  /  2 )  /\  k  e.  ( 0..^ y ) )  -> 
( ( k (digit `  2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( k (digit `  2 )
( a  /  2
) )  x.  (
2 ^ k ) ) )
109sumeq2dv 13747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( a  / 
2 )  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
116, 10eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( a  / 
2 )  ->  (
x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) )  <-> 
( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )
125, 11imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( a  / 
2 )  ->  (
( (#b `  x
)  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  <->  ( (#b `  ( a  /  2
) )  =  y  ->  ( a  / 
2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
1312rspcva 3186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
(#b `  x )  =  y  ->  x  = 
sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )  ->  ( (#b `  ( a  /  2
) )  =  y  ->  ( a  / 
2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) )
14 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  / 
2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  (#b `  a
)  =  ( y  +  1 ) )
1514oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  / 
2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( (#b `  a )  -  1 )  =  ( ( y  +  1 )  -  1 ) )
16 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
17 pncan1 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 )  -  1 )  =  y )
1915, 18sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(#b `  a )  -  1 )  =  y )
2019eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(#b `  ( a  /  2 ) )  =  ( (#b `  a )  -  1 )  <->  (#b `  ( a  /  2 ) )  =  y ) )
21 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
2221adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
23 fzval3 11980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
0 ... y )  =  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
0 ... y )  =  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) )
2524eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
0..^ ( y  +  1 ) )  =  ( 0 ... y
) )
2625sumeq1d 13745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... y ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) )
27 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
28 elnn0uz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  NN0  <->  y  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
2927, 28sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
3029adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
31 2nn 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  NN
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  2  e.  NN )
33 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  k  e.  ZZ )
3433adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  k  e.  ZZ )
35 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN0 )
36 nn0rp0 39085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3837ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
39 digvalnn0 39180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e. 
NN0 )
4032, 34, 38, 39syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e. 
NN0 )
4140nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e.  CC )
42 2nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  NN0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  2  e.  NN0 )
44 elfznn0 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  k  e.  NN0 )
4543, 44nn0expcld 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN0 )
4645nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 0 ... y )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
4746adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
4841, 47mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( 0 ... y
) )  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
49 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  0  ->  (
k (digit `  2
) a )  =  ( 0 (digit ` 
2 ) a ) )
50 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  0  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ 0 ) )
5149, 50oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  0  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 0 (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ 0 ) ) )
52 2cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  CC
53 exp0 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 0 )  =  1 )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2 ^ 0 )  =  1
5554oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0 (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ 0 ) )  =  ( ( 0 (digit ` 
2 ) a )  x.  1 )
5651, 55syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  0  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( 0 (digit `  2 ) a )  x.  1 ) )
5730, 48, 56fsum1p 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... y
) ( ( k (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ k ) )  =  ( ( ( 0 (digit ` 
2 ) a )  x.  1 )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )
58 0dig2nn0e 39193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  ( a  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( 0 (digit ` 
2 ) a )  =  0 )
5935, 1, 58syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  ( 0 (digit ` 
2 ) a )  =  0 )
6059oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( 0 (digit `  2 ) a )  x.  1 )  =  ( 0  x.  1 ) )
61 1re 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  1  e.  RR
62 mul02lem2 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  x.  1 )  =  0 )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  x.  1 )  =  0
6460, 63syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  ( ( 0 (digit `  2 ) a )  x.  1 )  =  0 )
6564adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( a  / 
2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a
)  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( ( 0 (digit `  2 )
a )  x.  1 )  =  0 )
6665adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 0 (digit ` 
2 ) a )  x.  1 )  =  0 )
67 1z 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  1  e.  ZZ )
69 0p1e1 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  +  1 )  =  1
7069, 67eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  +  1 )  e.  ZZ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
0  +  1 )  e.  ZZ )
7231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  2  e.  NN )
73 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  k  e.  ZZ )
7473adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  k  e.  ZZ )
7537ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7672, 74, 75, 39syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e. 
NN0 )
7776nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
k (digit `  2
) a )  e.  CC )
78 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  2  e.  CC )
79 elfznn 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  ( 1 ... y )  ->  k  e.  NN )
8079nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ( 1 ... y )  ->  k  e.  NN0 )
8169oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 0  +  1 ) ... y )  =  ( 1 ... y
)
8280, 81eleq2s 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  k  e.  NN0 )
8378, 82expcld 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
8483adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
8577, 84mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) )  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  e.  CC )
86 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
k (digit `  2
) a )  =  ( ( i  +  1 ) (digit ` 
2 ) a ) )
87 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) )
8886, 87oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( i  +  1 )  ->  (
( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )
8968, 71, 22, 85, 88fsumshftm 13820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y
) ( ( k (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ k ) )  =  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )
9066, 89oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( 0 (digit `  2 ) a )  x.  1 )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) ) )
911ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( a  /  2 )  e. 
NN0 )
9235ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  a  e.  NN0 )
93 elfzonn0 11958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  i  e.  NN0 )
9493adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  i  e.  NN0 )
95 dignn0ehalf 39198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN0  /\  a  e.  NN0  /\  i  e.  NN0 )  ->  (
( i  +  1 ) (digit `  2
) a )  =  ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) ) )
9691, 92, 94, 95syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  =  ( i (digit `  2
) ( a  / 
2 ) ) )
97 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  2  e.  CC )
9897, 93expp1d 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ ( i  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )
9998adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( 2 ^ ( i  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )
10096, 99oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
( i  +  1 ) (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) ) )
10131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  2  e.  NN )
102 elfzoelz 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  i  e.  ZZ )
103102adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  i  e.  ZZ )
104 nn0rp0 39085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( a  /  2 )  e.  NN0  ->  ( a  /  2 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1051, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( a  /  2 )  e.  NN  ->  (
a  /  2 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
106105ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( a  /  2 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
107 digvalnn0 39180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  i  e.  ZZ  /\  (
a  /  2 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  (
i (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  e. 
NN0 )
108101, 103, 106, 107syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( i
(digit `  2 )
( a  /  2
) )  e.  NN0 )
109108nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( i
(digit `  2 )
( a  /  2
) )  e.  CC )
110 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  RR
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  2  e.  RR )
112111, 93reexpcld 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ i )  e.  RR )
113112recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ i )  e.  CC )
114113adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( 2 ^ i )  e.  CC )
115 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  2  e.  CC )
116 mulass 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  e.  CC  /\  (
2 ^ i )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 )  =  ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) ) )
117116eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  e.  CC  /\  (
2 ^ i )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )  =  ( ( ( i (digit `  2 )
( a  /  2
) )  x.  (
2 ^ i ) )  x.  2 ) )
118109, 114, 115, 117syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
i (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  x.  ( ( 2 ^ i )  x.  2 ) )  =  ( ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
119100, 118eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
( i  +  1 ) (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ (
i  +  1 ) ) )  =  ( ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
120119sumeq2dv 13747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
121 0cn 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  0  e.  CC
122 pncan1 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( 0  e.  CC  ->  (
( 0  +  1 )  -  1 )  =  0 )
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0  +  1 )  -  1 )  =  0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 )  -  1 )  =  0 )
125124oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( y  -  1 ) ) )
126 fzoval 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
0..^ y )  =  ( 0 ... (
y  -  1 ) ) )
127126eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( y  - 
1 ) )  =  ( 0..^ y ) )
12821, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  e.  NN  ->  (
0 ... ( y  - 
1 ) )  =  ( 0..^ y ) )
129125, 128eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) )  =  ( 0..^ y ) )
130129adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( 0  +  1 )  -  1 ) ... ( y  -  1 ) )  =  ( 0..^ y ) )
131130sumeq1d 13745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ ( i  +  1 ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )
132131oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) ) )
133 fzofi 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0..^ y )  e.  Fin
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
0..^ y )  e. 
Fin )
135102peano2zd 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
136135adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ZZ )
13737ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )
138 digvalnn0 39180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( i  +  1 )  e.  ZZ  /\  a  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  e.  NN0 )
139101, 136, 137, 138syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  e.  NN0 )
140139nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  e.  CC )
14142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  2  e.  NN0 )
142 peano2nn0 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  +  1 )  e. 
NN0 )
14393, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( i  +  1 )  e. 
NN0 )
144141, 143nn0expcld 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ ( i  +  1 ) )  e. 
NN0 )
145144nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ ( i  +  1 ) )  e.  CC )
146145adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( 2 ^ ( i  +  1 ) )  e.  CC )
147140, 146mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
( i  +  1 ) (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ (
i  +  1 ) ) )  e.  CC )
148134, 147fsumcl 13777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) )  e.  CC )
149148addid2d 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )
150132, 149eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ (
i  +  1 ) ) ) )
151 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
152141, 93nn0expcld 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ i )  e. 
NN0 )
153152nn0cnd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  e.  ( 0..^ y )  ->  ( 2 ^ i )  e.  CC )
154153adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( 2 ^ i )  e.  CC )
155109, 154mulcld 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  /\  i  e.  ( 0..^ y ) )  ->  ( (
i (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ i
) )  e.  CC )
156134, 151, 155fsummulc1 13824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  ( sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ i
) )  x.  2 )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( ( i (digit `  2 )
( a  /  2
) )  x.  (
2 ^ i ) )  x.  2 ) )
157120, 150, 1563eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
0  +  sum_ i  e.  ( ( ( 0  +  1 )  - 
1 ) ... (
y  -  1 ) ) ( ( ( i  +  1 ) (digit `  2 )
a )  x.  (
2 ^ ( i  +  1 ) ) ) )  =  (
sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
15890, 157eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( 0 (digit `  2 ) a )  x.  1 )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... y ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ i
) )  x.  2 ) )
15926, 57, 1583eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
160159adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  x.  2 ) )
161 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
k (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  =  ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) ) )
162 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
2 ^ k )  =  ( 2 ^ i ) )
163161, 162oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
( k (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) ) )
164163cbvsumv 13740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) ) )
166165eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  <-> 
( a  /  2
)  =  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) ) ) )
167166biimpac 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( a  /  2 )  = 
sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) ) )
168167eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ i ) )  =  ( a  / 
2 ) )
169168oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( sum_ i  e.  ( 0..^ y ) ( ( i (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ i
) )  x.  2 )  =  ( ( a  /  2 )  x.  2 ) )
170 nncn 10617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  CC )
171 2cnd 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  NN  ->  2  e.  CC )
172 2ne0 10702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  =/=  0
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
174170, 171, 173divcan1d 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  NN  ->  (
( a  /  2
)  x.  2 )  =  a )
175174ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( a  /  2
)  x.  2 )  =  a )
176175adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  ( (
a  /  2 )  x.  2 )  =  a )
177160, 169, 1763eqtrrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  /\  ( ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )
)  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) )
178177ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) )  -> 
( ( ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )
179178imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (#b `  ( a  /  2 ) )  =  y  ->  (
a  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  ( a  /  2
) )  =  y  ->  ( ( ( ( ( a  / 
2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a
)  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
180179com13 83 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(#b `  ( a  /  2 ) )  =  y  ->  (
( (#b `  (
a  /  2 ) )  =  y  -> 
( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
18120, 180sylbid 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(#b `  ( a  /  2 ) )  =  ( (#b `  a )  -  1 )  ->  ( (
(#b `  ( a  /  2 ) )  =  y  ->  (
a  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) )
182181com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  /\  (#b `  a )  =  ( y  +  1 ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( (#b `  (
a  /  2 ) )  =  y  -> 
( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  ( a  /  2
) )  =  ( (#b `  a )  -  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
183182exp31 607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  ( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
( y  e.  NN  ->  ( ( (#b `  ( a  /  2
) )  =  y  ->  ( a  / 
2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) ( a  / 
2 ) )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  (
a  /  2 ) )  =  ( (#b
`  a )  - 
1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) )
184183com25 94 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  ( (#b `  (
a  /  2 ) )  =  ( (#b
`  a )  - 
1 )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( ( (#b `  (
a  /  2 ) )  =  y  -> 
( a  /  2
)  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) ) )
185184com14 91 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (#b `  ( a  /  2 ) )  =  y  ->  (
a  /  2 )  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) ( a  /  2 ) )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  ( a  /  2
) )  =  ( (#b `  a )  -  1 )  -> 
( y  e.  NN  ->  ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  (
(#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) )
18613, 185syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
(#b `  x )  =  y  ->  x  = 
sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) )  ->  ( (#b `  ( a  /  2
) )  =  ( (#b `  a )  -  1 )  -> 
( y  e.  NN  ->  ( ( ( a  /  2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  (
(#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit ` 
2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) )
187186ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( a  /  2 )  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b
`  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  (
a  /  2 ) )  =  ( (#b
`  a )  - 
1 )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( ( ( a  / 
2 )  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) ) ) )
188187com25 94 . . . . . 6  |-  ( ( a  /  2 )  e.  NN0  ->  ( ( ( a  /  2
)  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  ( (#b `  (
a  /  2 ) )  =  ( (#b
`  a )  - 
1 )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit ` 
2 ) x )  x.  ( 2 ^ k ) ) )  ->  ( (#b `  a )  =  ( y  +  1 )  ->  a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2
) a )  x.  ( 2 ^ k
) ) ) ) ) ) ) )
189188expdcom 440 . . . . 5  |-  ( ( a  /  2 )  e.  NN  ->  (
a  e.  NN  ->  ( ( a  /  2
)  e.  NN0  ->  ( (#b `  ( a  /  2 ) )  =  ( (#b `  a )  -  1 )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b
`  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) ) ) )
1901, 189mpid 42 . . . 4  |-  ( ( a  /  2 )  e.  NN  ->  (
a  e.  NN  ->  ( (#b `  ( a  /  2 ) )  =  ( (#b `  a )  -  1 )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b
`  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) ) )
191190impcom 431 . . 3  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( a  /  2
)  e.  NN )  ->  ( (#b `  ( a  /  2
) )  =  ( (#b `  a )  -  1 )  -> 
( y  e.  NN  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) ) )
1923, 191mpd 15 . 2  |-  ( ( a  e.  NN  /\  ( a  /  2
)  e.  NN )  ->  ( y  e.  NN  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b
`  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
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a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) ) )
193192imp 430 1  |-  ( ( ( a  e.  NN  /\  ( a  /  2
)  e.  NN )  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( (#b `  x )  =  y  ->  x  =  sum_ k  e.  ( 0..^ y ) ( ( k (digit `  2
) x )  x.  ( 2 ^ k
) ) )  -> 
( (#b `  a
)  =  ( y  +  1 )  -> 
a  =  sum_ k  e.  ( 0..^ ( y  +  1 ) ) ( ( k (digit `  2 ) a )  x.  ( 2 ^ k ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543   +oocpnf 9671    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   [,)cico 11637   ...cfz 11782  ..^cfzo 11913   ^cexp 12269   sum_csu 13730  #bcblen 39150  digitcdig 39176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-logb 23567  df-blen 39151  df-dig 39177
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