Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumltlt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem nn0sumltlt 40118
Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumltlt  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  c  -> 
b  <  c )
)

Proof of Theorem nn0sumltlt
StepHypRef Expression
1 nn0re 10875 . . 3  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
2 nn0re 10875 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
3 nn0re 10875 . . 3  |-  ( c  e.  NN0  ->  c  e.  RR )
4 ltaddsub2 10086 . . 3  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  (
( a  +  b )  <  c  <->  b  <  ( c  -  a ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1309 . 2  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  c  <->  b  <  ( c  -  a ) ) )
6 nn0ge0 10892 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  0  <_ 
a )
763ad2ant1 1028 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  0  <_  a )
81, 3anim12ci 570 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( c  e.  RR  /\  a  e.  RR ) )
983adant2 1026 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  RR  /\  a  e.  RR )
)
10 subge02 10127 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_  a  <->  ( c  -  a )  <_  c ) )
1110bicomd 205 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( c  -  a )  <_  c  <->  0  <_  a ) )
129, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( c  -  a
)  <_  c  <->  0  <_  a ) )
137, 12mpbird 236 . . 3  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
c  -  a )  <_  c )
1423ad2ant2 1029 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  b  e.  RR )
15 nn0resubcl 39039 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( c  -  a
)  e.  RR )
1615ancoms 455 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( c  -  a
)  e.  RR )
17163adant2 1026 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
c  -  a )  e.  RR )
1833ad2ant3 1030 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  c  e.  RR )
19 ltletr 9722 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR  /\  ( c  -  a
)  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( ( b  < 
( c  -  a
)  /\  ( c  -  a )  <_ 
c )  ->  b  <  c ) )
2014, 17, 18, 19syl3anc 1267 . . 3  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( b  <  (
c  -  a )  /\  ( c  -  a )  <_  c
)  ->  b  <  c ) )
2113, 20mpan2d 679 . 2  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
b  <  ( c  -  a )  -> 
b  <  c )
)
225, 21sylbid 219 1  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  c  -> 
b  <  c )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    e. wcel 1886   class class class wbr 4401  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   NN0cn0 10866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  40165
  Copyright terms: Public domain W3C validator