Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumltlt Structured version   Unicode version

Theorem nn0sumltlt 38450
Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumltlt  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  c  -> 
b  <  c )
)

Proof of Theorem nn0sumltlt
StepHypRef Expression
1 nn0re 10845 . . 3  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
2 nn0re 10845 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
3 nn0re 10845 . . 3  |-  ( c  e.  NN0  ->  c  e.  RR )
4 ltaddsub2 10068 . . 3  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  (
( a  +  b )  <  c  <->  b  <  ( c  -  a ) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1272 . 2  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  c  <->  b  <  ( c  -  a ) ) )
6 nn0ge0 10862 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  0  <_ 
a )
763ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  0  <_  a )
81, 3anim12ci 565 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( c  e.  RR  /\  a  e.  RR ) )
983adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
c  e.  RR  /\  a  e.  RR )
)
10 subge02 10109 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( 0  <_  a  <->  ( c  -  a )  <_  c ) )
1110bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  ( ( c  -  a )  <_  c  <->  0  <_  a ) )
129, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( c  -  a
)  <_  c  <->  0  <_  a ) )
137, 12mpbird 232 . . 3  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
c  -  a )  <_  c )
1423ad2ant2 1019 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  b  e.  RR )
15 nn0resubcl 37960 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  NN0  /\  a  e.  NN0 )  -> 
( c  -  a
)  e.  RR )
1615ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  -> 
( c  -  a
)  e.  RR )
17163adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
c  -  a )  e.  RR )
1833ad2ant3 1020 . . . 4  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  c  e.  RR )
19 ltletr 9707 . . . 4  |-  ( ( b  e.  RR  /\  ( c  -  a
)  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( ( b  < 
( c  -  a
)  /\  ( c  -  a )  <_ 
c )  ->  b  <  c ) )
2014, 17, 18, 19syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( b  <  (
c  -  a )  /\  ( c  -  a )  <_  c
)  ->  b  <  c ) )
2113, 20mpan2d 672 . 2  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
b  <  ( c  -  a )  -> 
b  <  c )
)
225, 21sylbid 215 1  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0  /\  c  e.  NN0 )  ->  (
( a  +  b )  <  c  -> 
b  <  c )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522    + caddc 9525    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841   NN0cn0 10836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  38497
  Copyright terms: Public domain W3C validator