MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0suc Structured version   Unicode version

Theorem nn0suc 6719
Description: A natural number is either 0 or a successor. (Contributed by NM, 27-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
nn0suc  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem nn0suc
StepHypRef Expression
1 df-ne 2664 . . . 4  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
2 nnsuc 6712 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  om  A  =  suc  x )
31, 2sylan2br 476 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  -.  A  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  A  =  suc  x )
43ex 434 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  ( -.  A  =  (/)  ->  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
54orrd 378 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  =  (/)  \/  E. x  e.  om  A  =  suc  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   (/)c0 3790   suc csuc 4886   omcom 6695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-om 6696
This theorem is referenced by:  nnawordex  7298  nneneq  7712  php  7713  cantnfvalf  8096  cantnflt  8103  cantnfltOLD  8133  hsmexlem9  8817  winainflem  9083  trpredlem1  29237  trpred0  29246  trpredrec  29248  bnj517  33423
  Copyright terms: Public domain W3C validator