Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0srg Structured version   Unicode version

Theorem nn0srg 18613
 Description: The nonnegative integers form a semiring (commutative by subcmn 16972). (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0srg flds SRing

Proof of Theorem nn0srg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 18567 . . . 4 fld
2 ringcmn 17356 . . . 4 fld fld CMnd
31, 2ax-mp 5 . . 3 fld CMnd
4 nn0subm 18600 . . 3 SubMndfld
5 eqid 2457 . . . 4 flds flds
65submcmn 16973 . . 3 fld CMnd SubMndfld flds CMnd
73, 4, 6mp2an 672 . 2 flds CMnd
8 nn0ex 10822 . . . 4
9 eqid 2457 . . . . 5 mulGrpfld mulGrpfld
105, 9mgpress 17279 . . . 4 fld CMnd mulGrpflds mulGrpflds
113, 8, 10mp2an 672 . . 3 mulGrpflds mulGrpflds
12 nn0sscn 10821 . . . . 5
13 1nn0 10832 . . . . 5
14 nn0mulcl 10853 . . . . . 6
1514rgen2a 2884 . . . . 5
169ringmgp 17331 . . . . . . 7 fld mulGrpfld
171, 16ax-mp 5 . . . . . 6 mulGrpfld
18 cnfldbas 18551 . . . . . . . 8 fld
199, 18mgpbas 17274 . . . . . . 7 mulGrpfld
20 cnfld1 18570 . . . . . . . 8 fld
219, 20ringidval 17282 . . . . . . 7 mulGrpfld
22 cnfldmul 18553 . . . . . . . 8 fld
239, 22mgpplusg 17272 . . . . . . 7 mulGrpfld
2419, 21, 23issubm 16105 . . . . . 6 mulGrpfld SubMndmulGrpfld
2517, 24ax-mp 5 . . . . 5 SubMndmulGrpfld
2612, 13, 15, 25mpbir3an 1178 . . . 4 SubMndmulGrpfld
27 eqid 2457 . . . . 5 mulGrpflds mulGrpflds
2827submmnd 16112 . . . 4 SubMndmulGrpfld mulGrpflds
2926, 28ax-mp 5 . . 3 mulGrpflds
3011, 29eqeltrri 2542 . 2 mulGrpflds
31 simpl 457 . . . . . . . 8
3231nn0cnd 10875 . . . . . . 7
33 simprl 756 . . . . . . . 8
3433nn0cnd 10875 . . . . . . 7
35 simprr 757 . . . . . . . 8
3635nn0cnd 10875 . . . . . . 7
3732, 34, 36adddid 9637 . . . . . 6
3832, 34, 36adddird 9638 . . . . . 6
3937, 38jca 532 . . . . 5
4039ralrimivva 2878 . . . 4
41 nn0cn 10826 . . . . 5
4241mul02d 9795 . . . 4
4341mul01d 9796 . . . 4
4440, 42, 43jca32 535 . . 3
4544rgen 2817 . 2
465, 18ressbas2 14702 . . . 4 flds
4712, 46ax-mp 5 . . 3 flds
48 eqid 2457 . . 3 mulGrpflds mulGrpflds
49 cnfldadd 18552 . . . . 5 fld
505, 49ressplusg 14758 . . . 4 flds
518, 50ax-mp 5 . . 3 flds
525, 22ressmulr 14769 . . . 4 flds
538, 52ax-mp 5 . . 3 flds
54 ringmnd 17334 . . . . 5 fld fld
551, 54ax-mp 5 . . . 4 fld
56 0nn0 10831 . . . 4
57 cnfld0 18569 . . . . 5 fld
585, 18, 57ress0g 16076 . . . 4 fld flds
5955, 56, 12, 58mp3an 1324 . . 3 flds
6047, 48, 51, 53, 59issrg 17286 . 2 flds SRing flds CMnd mulGrpflds
617, 30, 45, 60mpbir3an 1178 1 flds SRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  cvv 3109   wss 3471  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmul 9514  cn0 10816  cbs 14644   ↾s cress 14645   cplusg 14712  cmulr 14713  c0g 14857  cmnd 16046  SubMndcsubmnd 16092  CMndccmn 16925  mulGrpcmgp 17268  SRingcsrg 17284  crg 17325  ℂfldccnfld 18547 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-srg 17285  df-ring 17327  df-cring 17328  df-cnfld 18548 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator