Theorem nn0seqcvgd 13659

Description: A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term N reaches zero by the N th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0seqcvgd.1	|- (ph -> F:NN0-->NN0)
nn0seqcvgd.2	|- (ph -> N = (F` 0))
nn0seqcvgd.3	|- ((ph /\ k e. NN0) -> ((F` (k + 1)) =/= 0 -> (F` (k + 1)) < (F` k)))

Assertion

Ref	Expression
nn0seqcvgd	|- (ph -> (F` N) = 0)

Distinct variable groups:   k,F   k,N   ph,k

Proof of Theorem nn0seqcvgd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0seqcvgd.1	. . . 4 |- (ph -> F:NN0-->NN0)
2		nn0seqcvgd.2	. . . . 5 |- (ph -> N = (F` 0))
3		0nn0 7322	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
4		ffvelrn 4787	. . . . . . 7 |- ((F:NN0-->NN0 /\ 0 e. NN0) -> (F` 0) e. NN0)
5	3, 4	mpan2 760	. . . . . 6 |- (F:NN0-->NN0 -> (F` 0) e. NN0)
6	1, 5	syl 12	. . . . 5 |- (ph -> (F` 0) e. NN0)
7	2, 6	eqeltrd 1971	. . . 4 |- (ph -> N e. NN0)
8		ffvelrn 4787	. . . 4 |- ((F:NN0-->NN0 /\ N e. NN0) -> (F` N) e. NN0)
9	1, 7, 8	syl11anc 524	. . 3 |- (ph -> (F` N) e. NN0)
10		nn0re 7317	. . 3 |- ((F` N) e. NN0 -> (F` N) e. RR)
11		0re 6603	. . . 4 |- 0 e. RR
12		letri3 6687	. . . 4 |- (((F` N) e. RR /\ 0 e. RR) -> ((F` N) = 0 <-> ((F` N) <_ 0 /\ 0 <_ (F` N))))
13	11, 12	mpan2 760	. . 3 |- ((F` N) e. RR -> ((F` N) = 0 <-> ((F` N) <_ 0 /\ 0 <_ (F` N))))
14	9, 10, 13	3syl 24	. 2 |- (ph -> ((F` N) = 0 <-> ((F` N) <_ 0 /\ 0 <_ (F` N))))
15		nn0re 7317	. . . . . . 7 |- (N e. NN0 -> N e. RR)
16	7, 15	syl 12	. . . . . 6 |- (ph -> N e. RR)
17		leid 6701	. . . . . 6 |- (N e. RR -> N <_ N)
18	16, 17	syl 12	. . . . 5 |- (ph -> N <_ N)
19		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (m = 0 -> (F` m) = (F` 0))
20		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (m = 0 -> (N - m) = (N - 0))
21	19, 20	breq12d 3351	. . . . . . 7 |- (m = 0 -> ((F` m) <_ (N - m) <-> (F` 0) <_ (N - 0)))
22	21	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (m = 0 -> ((ph -> (F` m) <_ (N - m)) <-> (ph -> (F` 0) <_ (N - 0))))
23		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (m = k -> (F` m) = (F` k))
24		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (m = k -> (N - m) = (N - k))
25	23, 24	breq12d 3351	. . . . . . 7 |- (m = k -> ((F` m) <_ (N - m) <-> (F` k) <_ (N - k)))
26	25	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (m = k -> ((ph -> (F` m) <_ (N - m)) <-> (ph -> (F` k) <_ (N - k))))
27		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (m = (k + 1) -> (F` m) = (F` (k + 1)))
28		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (m = (k + 1) -> (N - m) = (N - (k + 1)))
29	27, 28	breq12d 3351	. . . . . . 7 |- (m = (k + 1) -> ((F` m) <_ (N - m) <-> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
30	29	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (m = (k + 1) -> ((ph -> (F` m) <_ (N - m)) <-> (ph -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1)))))
31		fveq2 4681	. . . . . . . 8 |- (m = N -> (F` m) = (F` N))
32		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (m = N -> (N - m) = (N - N))
33	31, 32	breq12d 3351	. . . . . . 7 |- (m = N -> ((F` m) <_ (N - m) <-> (F` N) <_ (N - N)))
34	33	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (m = N -> ((ph -> (F` m) <_ (N - m)) <-> (ph -> (F` N) <_ (N - N))))
35	2, 18	eqbrtrrd 3359	. . . . . . . 8 |- (ph -> (F` 0) <_ N)
36	16	recnd 6468	. . . . . . . . . 10 |- (ph -> N e. CC)
37		subid1 6556	. . . . . . . . . 10 |- (N e. CC -> (N - 0) = N)
38	36, 37	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (ph -> (N - 0) = N)
39	38	breq2d 3350	. . . . . . . 8 |- (ph -> ((F` 0) <_ (N - 0) <-> (F` 0) <_ N))
40	35, 39	mpbird 213	. . . . . . 7 |- (ph -> (F` 0) <_ (N - 0))
41	40	a1i 8	. . . . . 6 |- (N e. NN0 -> (ph -> (F` 0) <_ (N - 0)))
42		posdif 6843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((k e. RR /\ N e. RR) -> (k < N <-> 0 < (N - k)))
43		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. NN0 -> k e. RR)
44	42, 43, 16	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((k e. NN0 /\ ph) -> (k < N <-> 0 < (N - k)))
45	44	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (k < N <-> 0 < (N - k)))
46	45	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((ph /\ k e. NN0) /\ (F` (k + 1)) = 0) -> (k < N <-> 0 < (N - k)))
47		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` (k + 1)) = 0 -> ((F` (k + 1)) < (N - k) <-> 0 < (N - k)))
48	47	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((ph /\ k e. NN0) /\ (F` (k + 1)) = 0) -> ((F` (k + 1)) < (N - k) <-> 0 < (N - k)))
49		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F:NN0-->NN0 /\ (k + 1) e. NN0) -> (F` (k + 1)) e. NN0)
50		peano2nn0 7333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (k e. NN0 -> (k + 1) e. NN0)
51	49, 1, 50	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (F` (k + 1)) e. NN0)
52		nn0z 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F` (k + 1)) e. NN0 -> (F` (k + 1)) e. ZZ)
53	51, 52	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (F` (k + 1)) e. ZZ)
54		zsubcl 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((N e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (N - k) e. ZZ)
55		nn0z 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (N e. NN0 -> N e. ZZ)
56	7, 55	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (ph -> N e. ZZ)
57	54, 56	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((ph /\ k e. ZZ) -> (N - k) e. ZZ)
58		nn0z 7363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. NN0 -> k e. ZZ)
59	57, 58	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (N - k) e. ZZ)
60		zltlem1 7393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F` (k + 1)) e. ZZ /\ (N - k) e. ZZ) -> ((F` (k + 1)) < (N - k) <-> (F` (k + 1)) <_ ((N - k) - 1)))
61	53, 59, 60	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((ph /\ k e. NN0) -> ((F` (k + 1)) < (N - k) <-> (F` (k + 1)) <_ ((N - k) - 1)))
62		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
63		subsub4 6629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((N e. CC /\ k e. CC /\ 1 e. CC) -> ((N - k) - 1) = (N - (k + 1)))
64	62, 63	mp3an3 1180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((N e. CC /\ k e. CC) -> ((N - k) - 1) = (N - (k + 1)))
65		nn0cn 7318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. NN0 -> k e. CC)
66	64, 36, 65	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((ph /\ k e. NN0) -> ((N - k) - 1) = (N - (k + 1)))
67	66	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((ph /\ k e. NN0) -> ((F` (k + 1)) <_ ((N - k) - 1) <-> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
68	61, 67	bitrd 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((ph /\ k e. NN0) -> ((F` (k + 1)) < (N - k) <-> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
69	68	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((ph /\ k e. NN0) /\ (F` (k + 1)) = 0) -> ((F` (k + 1)) < (N - k) <-> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
70	46, 48, 69	3bitr2d 605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((ph /\ k e. NN0) /\ (F` (k + 1)) = 0) -> (k < N <-> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
71	70	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((ph /\ k e. NN0) /\ (F` (k + 1)) = 0) /\ k < N) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1)))
72	71	an1rs 547	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((ph /\ k e. NN0) /\ k < N) /\ (F` (k + 1)) = 0) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1)))
73	72	a1d 15	. . . . . . . . . . 11 |- ((((ph /\ k e. NN0) /\ k < N) /\ (F` (k + 1)) = 0) -> ((F` k) <_ (N - k) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
74		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` (k + 1)) e. NN0 -> (F` (k + 1)) e. RR)
75	51, 74	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (F` (k + 1)) e. RR)
76		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F:NN0-->NN0 /\ k e. NN0) -> (F` k) e. NN0)
77	76, 1	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (F` k) e. NN0)
78		nn0re 7317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` k) e. NN0 -> (F` k) e. RR)
79	77, 78	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (F` k) e. RR)
80		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((N - k) e. ZZ -> (N - k) e. RR)
81	59, 80	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (N - k) e. RR)
82		ltletr 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` (k + 1)) e. RR /\ (F` k) e. RR /\ (N - k) e. RR) -> (((F` (k + 1)) < (F` k) /\ (F` k) <_ (N - k)) -> (F` (k + 1)) < (N - k)))
83	75, 79, 81, 82	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (((F` (k + 1)) < (F` k) /\ (F` k) <_ (N - k)) -> (F` (k + 1)) < (N - k)))
84	83, 68	sylibd 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (((F` (k + 1)) < (F` k) /\ (F` k) <_ (N - k)) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
85		nn0seqcvgd.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((ph /\ k e. NN0) -> ((F` (k + 1)) =/= 0 -> (F` (k + 1)) < (F` k)))
86	84, 85	syland 506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((ph /\ k e. NN0) -> (((F` (k + 1)) =/= 0 /\ (F` k) <_ (N - k)) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
87	86	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((ph /\ k e. NN0) /\ k < N) -> (((F` (k + 1)) =/= 0 /\ (F` k) <_ (N - k)) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
88	87	expdimp 406	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((ph /\ k e. NN0) /\ k < N) /\ (F` (k + 1)) =/= 0) -> ((F` k) <_ (N - k) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
89		df-ne 2019	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` (k + 1)) =/= 0 <-> -. (F` (k + 1)) = 0)
90	88, 89	sylan2br 502	. . . . . . . . . . 11 |- ((((ph /\ k e. NN0) /\ k < N) /\ -. (F` (k + 1)) = 0) -> ((F` k) <_ (N - k) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
91	73, 90	pm2.61dan 535	. . . . . . . . . 10 |- (((ph /\ k e. NN0) /\ k < N) -> ((F` k) <_ (N - k) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
92	91	anasss 488	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ (k e. NN0 /\ k < N)) -> ((F` k) <_ (N - k) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1))))
93	92	expcom 403	. . . . . . . 8 |- ((k e. NN0 /\ k < N) -> (ph -> ((F` k) <_ (N - k) -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1)))))
94	93	a2d 16	. . . . . . 7 |- ((k e. NN0 /\ k < N) -> ((ph -> (F` k) <_ (N - k)) -> (ph -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1)))))
95	94	3adant1 894	. . . . . 6 |- ((N e. NN0 /\ k e. NN0 /\ k < N) -> ((ph -> (F` k) <_ (N - k)) -> (ph -> (F` (k + 1)) <_ (N - (k + 1)))))
96	22, 26, 30, 34, 41, 95	fnn0ind 13611	. . . . 5 |- ((N e. NN0 /\ N e. NN0 /\ N <_ N) -> (ph -> (F` N) <_ (N - N)))
97	7, 7, 18, 96	syl111anc 1100	. . . 4 |- (ph -> (ph -> (F` N) <_ (N - N)))
98	97	pm2.43i 78	. . 3 |- (ph -> (F` N) <_ (N - N))
99		subid 6555	. . . 4 |- (N e. CC -> (N - N) = 0)
100	36, 99	syl 12	. . 3 |- (ph -> (N - N) = 0)
101	98, 100	breqtrd 3361	. 2 |- (ph -> (F` N) <_ 0)
102		nn0ge0 7326	. . 3 |- ((F` N) e. NN0 -> 0 <_ (F` N))
103	9, 102	syl 12	. 2 |- (ph -> 0 <_ (F` N))
104	14, 101, 103	mpbir2and 802	1 |- (ph -> (F` N) = 0)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  ZZcz 6451   < clt 6653

This theorem is referenced by:  nn0seqcvg 13660  algcvg 13744

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

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