MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0red Structured version   Unicode version

Theorem nn0red 10842
Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0red  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nn0red
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 10788 . 2  |-  NN0  C_  RR
2 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3495 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   RRcr 9480   NN0cn0 10784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-nn 10526  df-n0 10785
This theorem is referenced by:  nn0cnd  10843  nn0readdcl  10847  flmulnn0  11916  quoremz  11938  quoremnn0ALT  11940  modaddmodup  12006  modaddmodlo  12007  expneg  12130  expnbnd  12250  facdiv  12320  faclbnd6  12332  facavg  12334  hashdom  12402  hashun2  12406  hashunx  12409  hashfun  12448  hashf1  12459  seqcoll2  12466  hashge2el2dif  12474  hashtpg  12476  wrdlenge2n0  12529  ccatval1  12547  ccatsymb  12552  cshwidxmod  12724  repswcshw  12730  swrds2  12833  modfsummods  13556  climcnds  13615  geomulcvg  13637  mertenslem1  13645  efcllem  13664  eftlub  13694  ruclem10  13822  bitsfzolem  13932  bitsfzo  13933  bitsmod  13934  sadcaddlem  13955  sadaddlem  13964  sadasslem  13968  sadeq  13970  smuval2  13980  smupvallem  13981  smueqlem  13988  bezoutlem3  14026  bezoutlem4  14027  gcdeq  14038  dvdssqlem  14045  nn0seqcvgd  14047  eucalglt  14062  mulgcddvds  14093  qredeu  14096  prmdiveq  14164  odzdvds  14170  pythagtriplem3  14190  pythagtriplem6  14193  pythagtriplem7  14194  iserodd  14207  pclem  14210  pcpremul  14215  pcidlem  14243  pcgcd1  14248  pc2dvds  14250  pcz  14252  pcprmpw2  14253  fldivp1  14264  pcfaclem  14265  pcfac  14266  pcbc  14267  prmreclem2  14283  prmreclem3  14284  prmreclem4  14285  prmreclem5  14286  4sqlem11  14321  4sqlem12  14322  4sqlem14  14324  vdwlem11  14357  vdwlem12  14358  ramlb  14385  0ram  14386  ram0  14388  ramub1lem2  14393  ramcl  14395  psgnunilem2  16309  odmodnn0  16353  mndodconglem  16354  mndodcong  16355  oddvds  16360  odhash3  16385  gexdvds  16393  sylow1lem1  16407  sylow1lem5  16411  pgpfi  16414  pgpssslw  16423  efgsfo  16546  efgredlemd  16551  efgredlem  16554  efgred  16555  lt6abl  16681  telgsums  16806  pgpfaclem2  16916  srgbinomlem3  16974  psrbaglesupp  17781  psrbaglesuppOLD  17782  mplmonmul  17890  coe1tmmul2  18081  coe1tmmul2fv  18083  coe1pwmulfv  18085  gsummoncoe1  18110  zringlpirlem3  18271  zlpirlem3  18276  fvmptnn04if  19110  fvmptnn04ifc  19113  fvmptnn04ifd  19114  chfacfscmulgsum  19121  chfacfpmmulgsum  19125  lebnumii  21194  dyadmaxlem  21734  mbfi1fseqlem3  21852  mbfi1fseqlem4  21853  mbfi1fseqlem5  21854  mdegmullem  22206  coe1mul3  22228  coe1mul4  22229  deg1sublt  22239  deg1mul2  22243  deg1tmle  22246  deg1tm  22247  ply1divmo  22264  ply1divex  22265  deg1submon1p  22281  dvdsq1p  22289  fta1glem2  22295  fta1blem  22297  plyco0  22317  plyeq0lem  22335  plypf1  22337  plyaddlem1  22338  coeeulem  22349  dgrub  22359  dgrlb  22361  dgreq  22369  coeaddlem  22373  coemullem  22374  coemulhi  22378  dgrlt  22390  dgradd2  22392  dgrmul  22394  dgrcolem2  22398  dgrco  22399  plydivlem3  22418  plydivlem4  22419  plydivex  22420  plydiveu  22421  fta1lem  22430  quotcan  22432  vieta1lem2  22434  radcnvlem1  22535  dvradcnv  22543  leibpilem1  22992  leibpi  22994  log2tlbnd  22997  birthdaylem2  23003  birthdaylem3  23004  fsumharmonic  23062  basellem3  23077  basellem5  23079  issqf  23131  ppip1le  23156  ppiltx  23172  mumullem2  23175  sgmppw  23193  ppiub  23200  chtublem  23207  chpub  23216  dchrabs  23256  bcmono  23273  bcmax  23274  bcp1ctr  23275  bclbnd  23276  bposlem5  23284  lgseisenlem1  23345  2sqlem7  23366  2sqlem8  23368  chebbnd1lem1  23375  chtppilimlem1  23379  dchrisum0re  23419  mulogsumlem  23437  selberg2lem  23456  pntrlog2bndlem4  23486  pntlemr  23508  pntlemj  23509  pnt  23520  ostth2lem3  23541  spthispth  24237  wwlknred  24385  vdgrfival  24559  nbhashuvtx1  24577  rusgranumwlks  24618  eupap1  24638  eupath2lem3  24641  nndiffz1  27114  nexple  27495  oddpwdc  27783  eulerpartlems  27789  eulerpartlemgc  27791  eulerpartlemb  27797  coinfliplem  27907  eluzmn  27981  signsplypnf  27997  signslema  28009  signstfvc  28021  signstfveq0  28024  dmlogdmgm  28056  erdszelem8  28132  erdsze2lem2  28138  cvmliftlem7  28226  snmlff  28264  binomfallfaclem2  28589  binomrisefac  28591  fallfacval4  28592  faclim  28598  rrnequiv  29785  eldioph2lem1  30148  pell1qrge1  30261  rmxypos  30340  ltrmynn0  30341  ltrmxnn0  30342  lermxnn0  30343  jm2.24nn  30352  jm2.24  30356  jm2.19  30392  jm2.26lem3  30400  jm2.27c  30406  hbt  30536  dgraa0p  30556  hashssle  30893  stoweidlem17  31136  stoweidlem24  31143  wallispilem5  31188  stirlinglem15  31207  fourierdlem48  31274  fourierdlem83  31309  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330  sqwvfoura  31348  frghash2spot  31782  usgreghash2spotv  31785  numclwwlk5  31831  numclwwlk6  31832  friendshipgt3  31840  ssnn0ssfz  31877  pgrple2abel  31898
  Copyright terms: Public domain W3C validator