MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0red Unicode version

Theorem nn0red 10231
Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0red  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nn0red
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 10181 . 2  |-  NN0  C_  RR
2 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3306 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   RRcr 8945   NN0cn0 10177
This theorem is referenced by:  nn0cnd  10232  flmulnn0  11184  quoremz  11191  expneg  11344  expnbnd  11463  facdiv  11533  faclbnd6  11545  facavg  11547  hashdom  11608  hashun2  11612  hashunx  11615  hashtpg  11646  hashfun  11655  hashf1  11661  seqcoll2  11668  ccatval1  11700  swrds2  11835  climcnds  12586  geomulcvg  12608  mertenslem1  12616  efcllem  12635  eftlub  12665  ruclem10  12793  bitsfzolem  12901  bitsfzo  12902  bitsmod  12903  sadcaddlem  12924  sadaddlem  12933  sadasslem  12937  sadeq  12939  smuval2  12949  smupvallem  12950  smueqlem  12957  bezoutlem3  12995  bezoutlem4  12996  gcdeq  13007  dvdssqlem  13014  nn0seqcvgd  13016  eucalglt  13031  mulgcddvds  13059  qredeu  13062  prmdiveq  13130  odzdvds  13136  pythagtriplem3  13147  pythagtriplem6  13150  pythagtriplem7  13151  iserodd  13164  pclem  13167  pcpremul  13172  pcidlem  13200  pcgcd1  13205  pc2dvds  13207  pcz  13209  pcprmpw2  13210  fldivp1  13221  pcfaclem  13222  pcfac  13223  pcbc  13224  prmreclem2  13240  prmreclem3  13241  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  4sqlem11  13278  4sqlem12  13279  4sqlem14  13281  vdwlem11  13314  vdwlem12  13315  ramlb  13342  0ram  13343  ram0  13345  ramub1lem2  13350  ramcl  13352  odmodnn0  15133  mndodconglem  15134  mndodcong  15135  oddvds  15140  odhash3  15165  gexdvds  15173  sylow1lem1  15187  sylow1lem5  15191  pgpfi  15194  pgpssslw  15203  efgsfo  15326  efgredlemd  15331  efgredlem  15334  efgred  15335  lt6abl  15459  pgpfaclem2  15595  psrbaglesupp  16388  mplmonmul  16482  coe1tmmul2  16623  coe1tmmul2fv  16625  coe1pwmulfv  16627  zlpirlem3  16725  lebnumii  18944  dyadmaxlem  19442  mbfi1fseqlem3  19562  mbfi1fseqlem4  19563  mbfi1fseqlem5  19564  mdegmullem  19954  coe1mul3  19975  coe1mul4  19976  deg1sublt  19986  deg1mul2  19990  deg1tmle  19993  deg1tm  19994  ply1divmo  20011  ply1divex  20012  deg1submon1p  20028  dvdsq1p  20036  fta1glem2  20042  fta1blem  20044  plyco0  20064  plyeq0lem  20082  plypf1  20084  plyaddlem1  20085  coeeulem  20096  dgrub  20106  dgrlb  20108  dgreq  20116  coeaddlem  20120  coemullem  20121  coemulhi  20125  dgrlt  20137  dgradd2  20139  dgrmul  20141  dgrcolem2  20145  dgrco  20146  plydivlem3  20165  plydivlem4  20166  plydivex  20167  plydiveu  20168  fta1lem  20177  quotcan  20179  vieta1lem2  20181  radcnvlem1  20282  dvradcnv  20290  leibpilem1  20733  leibpi  20735  log2tlbnd  20738  birthdaylem2  20744  birthdaylem3  20745  fsumharmonic  20803  basellem3  20818  basellem5  20820  issqf  20872  ppip1le  20897  ppiltx  20913  mumullem2  20916  sgmppw  20934  ppiub  20941  chtublem  20948  chpub  20957  dchrabs  20997  bcmono  21014  bcmax  21015  bcp1ctr  21016  bclbnd  21017  bposlem5  21025  lgseisenlem1  21086  2sqlem7  21107  2sqlem8  21109  chebbnd1lem1  21116  chtppilimlem1  21120  dchrisum0re  21160  mulogsumlem  21178  selberg2lem  21197  pntrlog2bndlem4  21227  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pnt  21261  ostth2lem3  21282  spthispth  21526  vdgrfival  21621  eupap1  21651  eupath2lem3  21654  coinfliplem  24689  dmlogdmgm  24761  erdszelem8  24837  erdsze2lem2  24843  cvmliftlem7  24931  snmlff  24969  binomfallfaclem1  25306  binomfallfaclem2  25307  binomrisefac  25309  faclim  25313  rrnequiv  26434  eldioph2lem1  26708  pell1qrge1  26823  rmxypos  26902  ltrmynn0  26903  ltrmxnn0  26904  lermxnn0  26905  jm2.24nn  26914  jm2.24  26918  jm2.19  26954  jm2.26lem3  26962  jm2.27c  26968  hbt  27202  dgraa0p  27222  psgnunilem2  27286  stoweidlem17  27633  stoweidlem24  27640  wallispilem5  27685  stirlinglem15  27704  nn0readdcl  27974  frghash2spot  28166  usgreghash2spotv  28169
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-nn 9957  df-n0 10178
  Copyright terms: Public domain W3C validator