MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0red Structured version   Unicode version

Theorem nn0red 10738
Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
nn0red  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )

Proof of Theorem nn0red
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 10684 . 2  |-  NN0  C_  RR
2 nn0red.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
31, 2sseldi 3452 1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   RRcr 9382   NN0cn0 10680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-nn 10424  df-n0 10681
This theorem is referenced by:  nn0cnd  10739  nn0readdcl  10743  flmulnn0  11773  quoremz  11795  quoremnn0ALT  11797  modaddmodup  11863  modaddmodlo  11864  expneg  11974  expnbnd  12094  facdiv  12164  faclbnd6  12176  facavg  12178  hashdom  12244  hashun2  12248  hashunx  12251  hashge2el2dif  12286  hashtpg  12288  hashfun  12301  hashf1  12312  seqcoll2  12319  wrdlenge2n0  12363  ccatval1  12378  ccatsymb  12383  cshwidxmod  12542  repswcshw  12548  swrds2  12647  climcnds  13416  geomulcvg  13438  mertenslem1  13446  efcllem  13465  eftlub  13495  ruclem10  13623  bitsfzolem  13732  bitsfzo  13733  bitsmod  13734  sadcaddlem  13755  sadaddlem  13764  sadasslem  13768  sadeq  13770  smuval2  13780  smupvallem  13781  smueqlem  13788  bezoutlem3  13826  bezoutlem4  13827  gcdeq  13838  dvdssqlem  13845  nn0seqcvgd  13847  eucalglt  13862  mulgcddvds  13892  qredeu  13895  prmdiveq  13963  odzdvds  13969  pythagtriplem3  13987  pythagtriplem6  13990  pythagtriplem7  13991  iserodd  14004  pclem  14007  pcpremul  14012  pcidlem  14040  pcgcd1  14045  pc2dvds  14047  pcz  14049  pcprmpw2  14050  fldivp1  14061  pcfaclem  14062  pcfac  14063  pcbc  14064  prmreclem2  14080  prmreclem3  14081  prmreclem4  14082  prmreclem5  14083  4sqlem11  14118  4sqlem12  14119  4sqlem14  14121  vdwlem11  14154  vdwlem12  14155  ramlb  14182  0ram  14183  ram0  14185  ramub1lem2  14190  ramcl  14192  psgnunilem2  16103  odmodnn0  16147  mndodconglem  16148  mndodcong  16149  oddvds  16154  odhash3  16179  gexdvds  16187  sylow1lem1  16201  sylow1lem5  16205  pgpfi  16208  pgpssslw  16217  efgsfo  16340  efgredlemd  16345  efgredlem  16348  efgred  16349  lt6abl  16475  pgpfaclem2  16688  srgbinomlem3  16746  psrbaglesupp  17541  psrbaglesuppOLD  17542  mplmonmul  17650  coe1tmmul2  17837  coe1tmmul2fv  17839  coe1pwmulfv  17841  zringlpirlem3  18014  zlpirlem3  18019  lebnumii  20654  dyadmaxlem  21193  mbfi1fseqlem3  21311  mbfi1fseqlem4  21312  mbfi1fseqlem5  21313  mdegmullem  21665  coe1mul3  21687  coe1mul4  21688  deg1sublt  21698  deg1mul2  21702  deg1tmle  21705  deg1tm  21706  ply1divmo  21723  ply1divex  21724  deg1submon1p  21740  dvdsq1p  21748  fta1glem2  21754  fta1blem  21756  plyco0  21776  plyeq0lem  21794  plypf1  21796  plyaddlem1  21797  coeeulem  21808  dgrub  21818  dgrlb  21820  dgreq  21828  coeaddlem  21832  coemullem  21833  coemulhi  21837  dgrlt  21849  dgradd2  21851  dgrmul  21853  dgrcolem2  21857  dgrco  21858  plydivlem3  21877  plydivlem4  21878  plydivex  21879  plydiveu  21880  fta1lem  21889  quotcan  21891  vieta1lem2  21893  radcnvlem1  21994  dvradcnv  22002  leibpilem1  22451  leibpi  22453  log2tlbnd  22456  birthdaylem2  22462  birthdaylem3  22463  fsumharmonic  22521  basellem3  22536  basellem5  22538  issqf  22590  ppip1le  22615  ppiltx  22631  mumullem2  22634  sgmppw  22652  ppiub  22659  chtublem  22666  chpub  22675  dchrabs  22715  bcmono  22732  bcmax  22733  bcp1ctr  22734  bclbnd  22735  bposlem5  22743  lgseisenlem1  22804  2sqlem7  22825  2sqlem8  22827  chebbnd1lem1  22834  chtppilimlem1  22838  dchrisum0re  22878  mulogsumlem  22896  selberg2lem  22915  pntrlog2bndlem4  22945  pntlemr  22967  pntlemj  22968  pnt  22979  ostth2lem3  23000  spthispth  23607  vdgrfival  23702  eupap1  23732  eupath2lem3  23735  nndiffz1  26209  nexple  26582  oddpwdc  26871  eulerpartlems  26877  eulerpartlemgc  26879  eulerpartlemb  26885  coinfliplem  26995  eluzmn  27069  signsplypnf  27085  signslema  27097  signstfvc  27109  signstfveq0  27112  dmlogdmgm  27144  erdszelem8  27220  erdsze2lem2  27226  cvmliftlem7  27314  snmlff  27352  binomfallfaclem2  27677  binomrisefac  27679  fallfacval4  27680  faclim  27686  rrnequiv  28872  eldioph2lem1  29236  pell1qrge1  29349  rmxypos  29428  ltrmynn0  29429  ltrmxnn0  29430  lermxnn0  29431  jm2.24nn  29440  jm2.24  29444  jm2.19  29480  jm2.26lem3  29488  jm2.27c  29494  hbt  29624  dgraa0p  29644  stoweidlem17  29950  stoweidlem24  29957  wallispilem5  30002  stirlinglem15  30021  modfsummods  30382  wwlknred  30493  nbhashuvtx1  30671  rusgranumwlks  30712  frghash2spot  30794  usgreghash2spotv  30797  numclwwlk5  30843  numclwwlk6  30844  friendshipgt3  30852  ssnn0ssfz  30879  pgrple2abel  30908  telescgsum  30955  gsummoncoe1  30985  fvmptnn04if  31303  fvmptnn04ifc  31306  fvmptnn04ifd  31307  chfacfscmulgsum  31314  chfacfpmmulgsum  31318
  Copyright terms: Public domain W3C validator