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Theorem nn0prpw 28427
Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpw  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  =  B  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
Distinct variable groups:    n, p, A    B, n, p

Proof of Theorem nn0prpw
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4293 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
21a1d 25 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
) )
32ralrimivv 2805 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
4 elnn0 10577 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
5 elnn0 10577 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
6 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
7 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
8 lttri2 9453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
96, 7, 8syl2an 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
109ancoms 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
11 nn0prpwlem 28426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  A. k  e.  NN  ( k  < 
B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
12 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  (
k  <  B  <->  A  <  B ) )
13 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  A  ->  (
( p ^ n
)  ||  k  <->  ( p ^ n )  ||  A ) )
1413bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
1514notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
16152rexbidv 2756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
1712, 16imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  (
( k  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )  <-> 
( A  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
1817rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( k  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )  ->  ( A  < 
B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
1911, 18mpan9 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
20 nn0prpwlem 28426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  A. k  e.  NN  ( k  < 
A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) ) )
21 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  B  ->  (
k  <  A  <->  B  <  A ) )
22 breq2 4293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  B  ->  (
( p ^ n
)  ||  k  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
2322bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  B  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  B  <->  ( p ^ n )  ||  A ) ) )
24 bicom 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ n )  ||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
2523, 24syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  B  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
2625notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  -.  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
27262rexbidv 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  B  ->  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
2821, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  B  ->  (
( k  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) )  <-> 
( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
2928rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( k  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) )  ->  ( B  < 
A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
3020, 29syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
3130impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
3219, 31jaod 380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  < 
B  \/  B  < 
A )  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
3310, 32sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
34 df-ne 2606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  B  <->  -.  A  =  B )
35 rexnal 2724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
3635rexbii 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
37 rexnal 2724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
3836, 37bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
3933, 34, 383imtr3g 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( -.  A  =  B  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
4039con4d 105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
)
4140ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
42 prmunb 13971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  A  <  p
)
43 1nn 10329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
44 prmz 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
45 1nn0 10591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  NN0
46 zexpcl 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( p ^ 1 )  e.  ZZ )
4744, 45, 46sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  e.  ZZ )
48 dvdsle 13574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( p ^
1 )  ||  A  ->  ( p ^ 1 )  <_  A )
)
4947, 48sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  A  -> 
( p ^ 1 )  <_  A )
)
50 prmnn 13762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
51 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  RR )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
53 reexpcl 11878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  RR  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( p ^ 1 )  e.  RR )
5452, 45, 53sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  e.  RR )
55 lenlt 9449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( p ^
1 )  <_  A  <->  -.  A  <  ( p ^ 1 ) ) )
5654, 6, 55syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  A  <->  -.  A  <  ( p ^ 1 ) ) )
5750nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  CC )
5857exp1d 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  =  p )
5958adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
p ^ 1 )  =  p )
6059breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  <  ( p ^
1 )  <->  A  <  p ) )
6160notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( -.  A  <  ( p ^ 1 )  <->  -.  A  <  p ) )
6256, 61bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  A  <->  -.  A  <  p ) )
6349, 62sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  A  ->  -.  A  <  p ) )
6463ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  A  ->  -.  A  <  p
) )
6564con2d 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( A  <  p  ->  -.  ( p ^
1 )  ||  A
) )
66653impia 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( p ^ 1 )  ||  A )
67 dvds0 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
6847, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  ||  0 )
69683ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
70 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A )  ->  ( ( p ^ 1 )  ||  0  ->  ( p ^
1 )  ||  A
) ) )
7169, 70mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A )  ->  ( p ^
1 )  ||  A
) )
7266, 71mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A ) )
73 bi2 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p ^ 1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  0  -> 
( p ^ 1 )  ||  A ) )
7472, 73nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 ) 
||  0 ) )
75 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  1  ->  (
p ^ n )  =  ( p ^
1 ) )
7675breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  A ) )
7775breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) )
7876, 77bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  ( (
p ^ 1 ) 
||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) ) )
7978notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  -.  (
( p ^ 1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) ) )
8079rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -.  ( ( p ^
1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 ) 
||  0 ) )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8143, 74, 80sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
82813expia 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( A  <  p  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
8382reximdva 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E. p  e.  Prime  A  <  p  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
8442, 83mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
85 rexnal 2724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
8685rexbii 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
87 rexnal 2724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8886, 87bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8984, 88sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
9089pm2.21d 106 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  ->  A  =  0 ) )
91 breq2 4293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  0  ->  (
( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
9291bibi2d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  0  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) ) )
93922ralbidv 2755 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
94 eqeq2 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  0  ->  ( A  =  B  <->  A  = 
0 ) )
9593, 94imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  ->  A  =  0 ) ) )
9690, 95syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
9741, 96jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
985, 97sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
9998com12 31 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
100 orcom 387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  <-> 
( B  =  0  \/  B  e.  NN ) )
101 df-or 370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =  0  \/  B  e.  NN )  <-> 
( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
102100, 101bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  <-> 
( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
1035, 102bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
104 prmunb 13971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  B  <  p
)
105 dvdsle 13574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( p ^
1 )  ||  B  ->  ( p ^ 1 )  <_  B )
)
10647, 105sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  B  -> 
( p ^ 1 )  <_  B )
)
107 lenlt 9449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( p ^
1 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( p ^ 1 ) ) )
10854, 7, 107syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( p ^ 1 ) ) )
10958adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
p ^ 1 )  =  p )
110109breq2d 4301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  <  ( p ^
1 )  <->  B  <  p ) )
111110notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  B  <  ( p ^ 1 )  <->  -.  B  <  p ) )
112108, 111bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  B  <->  -.  B  <  p ) )
113106, 112sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  B  ->  -.  B  <  p ) )
114113ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  B  ->  -.  B  <  p
) )
115114con2d 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( B  <  p  ->  -.  ( p ^
1 )  ||  B
) )
1161153impia 1179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( p ^ 1 )  ||  B )
117683ad2ant2 1005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
118 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B )  ->  ( ( p ^ 1 )  ||  0  ->  ( p ^
1 )  ||  B
) ) )
119117, 118mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B )  ->  ( p ^
1 )  ||  B
) )
120116, 119mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
121 bi1 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p ^ 1 )  ||  0  <->  (
p ^ 1 ) 
||  B )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
122120, 121nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  <->  ( p ^ 1 ) 
||  B ) )
12375breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
12477, 123bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ 1 ) 
||  0  <->  ( p ^ 1 )  ||  B ) ) )
125124notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  (
( p ^ 1 )  ||  0  <->  (
p ^ 1 ) 
||  B ) ) )
126125rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  <->  ( p ^ 1 ) 
||  B ) )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
12743, 122, 126sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
1281273expia 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( B  <  p  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
129128reximdva 2826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( E. p  e.  Prime  B  <  p  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
130104, 129mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
131 rexnal 2724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
132131rexbii 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
133 rexnal 2724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
134132, 133bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
135130, 134sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
136135imim2i 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN )  ->  ( -.  B  =  0  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
) )
137103, 136sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( -.  B  =  0  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
138137con4d 105 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  B  =  0 ) )
139 eqcom 2443 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  <->  0  =  B )
140138, 139syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  0  =  B ) )
141 breq2 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
142141bibi1d 319 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
1431422ralbidv 2755 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
144 eqeq1 2447 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( A  =  B  <->  0  =  B ) )
145143, 144imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  0  =  B ) ) )
146140, 145syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
14799, 146jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( B  e. 
NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
) )
148147imp 429 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0
)  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  A  =  B ) )
1494, 148sylanb 469 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
)
1503, 149impbid2 204 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  =  B  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ^cexp 11861    || cdivides 13531   Primecprime 13759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760
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