Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0prpw Unicode version

Theorem nn0prpw 26216
Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpw  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  =  B  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
Distinct variable groups:    n, p, A    B, n, p

Proof of Theorem nn0prpw
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4176 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
21a1d 23 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
( p  e.  Prime  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
) )
32ralrimivv 2757 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
4 elnn0 10179 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
5 elnn0 10179 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
6 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
7 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
8 lttri2 9113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
96, 7, 8syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
109ancoms 440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
11 nn0prpwlem 26215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  A. k  e.  NN  ( k  < 
B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
12 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  (
k  <  B  <->  A  <  B ) )
13 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  A  ->  (
( p ^ n
)  ||  k  <->  ( p ^ n )  ||  A ) )
1413bibi1d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  A  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
1514notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
16152rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  A  ->  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
1712, 16imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  A  ->  (
( k  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )  <-> 
( A  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
1817rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( k  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )  ->  ( A  < 
B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
1911, 18mpan9 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  <  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
20 nn0prpwlem 26215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  A. k  e.  NN  ( k  < 
A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) ) )
21 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  B  ->  (
k  <  A  <->  B  <  A ) )
22 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  B  ->  (
( p ^ n
)  ||  k  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
2322bibi1d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  B  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  B  <->  ( p ^ n )  ||  A ) ) )
24 bicom 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ n )  ||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
2523, 24syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  B  ->  (
( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
2625notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  -.  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
27262rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  B  ->  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A )  <->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
2821, 27imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  B  ->  (
( k  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) )  <-> 
( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
2928rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( k  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  k  <->  ( p ^ n ) 
||  A ) )  ->  ( B  < 
A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
3020, 29syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) ) )
3130impcom 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( B  <  A  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
3219, 31jaod 370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( A  < 
B  \/  B  < 
A )  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
3310, 32sylbid 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
34 df-ne 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =/=  B  <->  -.  A  =  B )
35 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
3635rexbii 2691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
37 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
3836, 37bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
3933, 34, 383imtr3g 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( -.  A  =  B  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
4039con4d 99 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
)
4140ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
42 prmunb 13237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  A  <  p
)
43 1nn 9967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN
44 prmz 13038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
45 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  e.  NN0
46 zexpcl 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( p ^ 1 )  e.  ZZ )
4744, 45, 46sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  e.  ZZ )
48 dvdsle 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( p ^
1 )  ||  A  ->  ( p ^ 1 )  <_  A )
)
4947, 48sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  A  -> 
( p ^ 1 )  <_  A )
)
50 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
51 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  RR )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
53 reexpcl 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  RR  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( p ^ 1 )  e.  RR )
5452, 45, 53sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  e.  RR )
55 lenlt 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( p ^
1 )  <_  A  <->  -.  A  <  ( p ^ 1 ) ) )
5654, 6, 55syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  A  <->  -.  A  <  ( p ^ 1 ) ) )
5750nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  CC )
5857exp1d 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  =  p )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
p ^ 1 )  =  p )
6059breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  <  ( p ^
1 )  <->  A  <  p ) )
6160notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( -.  A  <  ( p ^ 1 )  <->  -.  A  <  p ) )
6256, 61bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  A  <->  -.  A  <  p ) )
6349, 62sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  A  ->  -.  A  <  p ) )
6463ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  A  ->  -.  A  <  p
) )
6564con2d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( A  <  p  ->  -.  ( p ^
1 )  ||  A
) )
66653impia 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( p ^ 1 )  ||  A )
67 dvds0 12820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
6847, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p ^ 1 )  ||  0 )
69683ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
70 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A )  ->  ( ( p ^ 1 )  ||  0  ->  ( p ^
1 )  ||  A
) ) )
7169, 70mpid 39 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A )  ->  ( p ^
1 )  ||  A
) )
7266, 71mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  A ) )
73 bi2 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p ^ 1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  0  -> 
( p ^ 1 )  ||  A ) )
7472, 73nsyl 115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 ) 
||  0 ) )
75 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  1  ->  (
p ^ n )  =  ( p ^
1 ) )
7675breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  A ) )
7775breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) )
7876, 77bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  ( (
p ^ 1 ) 
||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) ) )
7978notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  -.  (
( p ^ 1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 )  ||  0 ) ) )
8079rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -.  ( ( p ^
1 )  ||  A  <->  ( p ^ 1 ) 
||  0 ) )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8143, 74, 80sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  A  <  p )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
82813expia 1155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( A  <  p  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
8382reximdva 2778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  ( E. p  e.  Prime  A  <  p  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
8442, 83mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
85 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
8685rexbii 2691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
87 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8886, 87bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) )
8984, 88sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  0 ) )
9089pm2.21d 100 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  ->  A  =  0 ) )
91 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  0  ->  (
( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
9291bibi2d 310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  0  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) ) )
93922ralbidv 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  0 ) ) )
94 eqeq2 2413 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  0  ->  ( A  =  B  <->  A  = 
0 ) )
9593, 94imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 )  ->  A  =  0 ) ) )
9690, 95syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
9741, 96jaoi 369 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
985, 97sylbi 188 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
9998com12 29 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
100 orcom 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  <-> 
( B  =  0  \/  B  e.  NN ) )
101 df-or 360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  =  0  \/  B  e.  NN )  <-> 
( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
102100, 101bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  \/  B  =  0 )  <-> 
( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
1035, 102bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN ) )
104 prmunb 13237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  B  <  p
)
105 dvdsle 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( p ^
1 )  ||  B  ->  ( p ^ 1 )  <_  B )
)
10647, 105sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  B  -> 
( p ^ 1 )  <_  B )
)
107 lenlt 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( p ^ 1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( p ^
1 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( p ^ 1 ) ) )
10854, 7, 107syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  B  <->  -.  B  <  ( p ^ 1 ) ) )
10958adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
p ^ 1 )  =  p )
110109breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  <  ( p ^
1 )  <->  B  <  p ) )
111110notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  B  <  ( p ^ 1 )  <->  -.  B  <  p ) )
112108, 111bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  <_  B  <->  -.  B  <  p ) )
113106, 112sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  NN )  ->  (
( p ^ 1 )  ||  B  ->  -.  B  <  p ) )
114113ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  B  ->  -.  B  <  p
) )
115114con2d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( B  <  p  ->  -.  ( p ^
1 )  ||  B
) )
1161153impia 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( p ^ 1 )  ||  B )
117683ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
p ^ 1 ) 
||  0 )
118 idd 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B )  ->  ( ( p ^ 1 )  ||  0  ->  ( p ^
1 )  ||  B
) ) )
119117, 118mpid 39 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  (
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B )  ->  ( p ^
1 )  ||  B
) )
120116, 119mtod 170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
121 bi1 179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( p ^ 1 )  ||  0  <->  (
p ^ 1 ) 
||  B )  -> 
( ( p ^
1 )  ||  0  ->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
122120, 121nsyl 115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  <->  ( p ^ 1 ) 
||  B ) )
12375breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  1  ->  (
( p ^ n
)  ||  B  <->  ( p ^ 1 )  ||  B ) )
12477, 123bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ 1 ) 
||  0  <->  ( p ^ 1 )  ||  B ) ) )
125124notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  (
( p ^ 1 )  ||  0  <->  (
p ^ 1 ) 
||  B ) ) )
126125rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  -.  ( ( p ^
1 )  ||  0  <->  ( p ^ 1 ) 
||  B ) )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
12743, 122, 126sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime  /\  B  <  p )  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) )
1281273expia 1155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( B  <  p  ->  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
129128reximdva 2778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  ( E. p  e.  Prime  B  <  p  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
130104, 129mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
131 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
132131rexbii 2691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
133 rexnal 2677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
134132, 133bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. p  e.  Prime  E. n  e.  NN  -.  ( ( p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) )
135130, 134sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
)
136135imim2i 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  B  =  0  ->  B  e.  NN )  ->  ( -.  B  =  0  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )
) )
137103, 136sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( -.  B  =  0  ->  -.  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
138137con4d 99 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  B  =  0 ) )
139 eqcom 2406 . . . . . . 7  |-  ( B  =  0  <->  0  =  B )
140138, 139syl6ib 218 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  0 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  0  =  B ) )
141 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  0  ->  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  0 ) )
142141bibi1d 311 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  (
( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  <->  ( (
p ^ n ) 
||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
1431422ralbidv 2708 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  0  <->  ( p ^ n ) 
||  B ) ) )
144 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  ( A  =  B  <->  0  =  B ) )
145143, 144imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  0  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  0  =  B ) ) )
146140, 145syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  ( B  e.  NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B )  ->  A  =  B ) ) )
14799, 146jaoi 369 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( B  e. 
NN0  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
) )
148147imp 419 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0
)  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^ n )  ||  A 
<->  ( p ^ n
)  ||  B )  ->  A  =  B ) )
1494, 148sylanb 459 . 2  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A. p  e. 
Prime  A. n  e.  NN  ( ( p ^
n )  ||  A  <->  ( p ^ n ) 
||  B )  ->  A  =  B )
)
1503, 149impbid2 196 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
( A  =  B  <->  A. p  e.  Prime  A. n  e.  NN  (
( p ^ n
)  ||  A  <->  ( p ^ n )  ||  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ^cexp 11337    || cdivides 12807   Primecprime 13034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035
  Copyright terms: Public domain W3C validator