Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthi Structured version   Unicode version

Theorem nn0opthi 12394
 Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers and by . If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 3979 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1
nn0opth.2
nn0opth.3
nn0opth.4
Assertion
Ref Expression
nn0opthi

Proof of Theorem nn0opthi
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . . . . . . 10
2 nn0opth.2 . . . . . . . . . 10
31, 2nn0addcli 10874 . . . . . . . . 9
43nn0rei 10847 . . . . . . . 8
5 nn0opth.3 . . . . . . . . . 10
6 nn0opth.4 . . . . . . . . . 10
75, 6nn0addcli 10874 . . . . . . . . 9
87nn0rei 10847 . . . . . . . 8
94, 8lttri2i 9730 . . . . . . 7
101, 2, 7, 6nn0opthlem2 12393 . . . . . . . . 9
1110necomd 2674 . . . . . . . 8
125, 6, 3, 2nn0opthlem2 12393 . . . . . . . 8
1311, 12jaoi 377 . . . . . . 7
149, 13sylbi 195 . . . . . 6
1514necon4i 2647 . . . . 5
16 id 22 . . . . . . . 8
1715, 15oveq12d 6296 . . . . . . . . 9
1817oveq1d 6293 . . . . . . . 8
1916, 18eqtr4d 2446 . . . . . . 7
203nn0cni 10848 . . . . . . . . 9
2120, 20mulcli 9631 . . . . . . . 8
222nn0cni 10848 . . . . . . . 8
236nn0cni 10848 . . . . . . . 8
2421, 22, 23addcani 9807 . . . . . . 7
2519, 24sylib 196 . . . . . 6
2625oveq2d 6294 . . . . 5
2715, 26eqtr4d 2446 . . . 4
281nn0cni 10848 . . . . 5
295nn0cni 10848 . . . . 5
3028, 29, 22addcan2i 9808 . . . 4
3127, 30sylib 196 . . 3
3231, 25jca 530 . 2
33 oveq12 6287 . . . 4
3433, 33oveq12d 6296 . . 3
35 simpr 459 . . 3
3634, 35oveq12d 6296 . 2
3732, 36impbii 187 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   caddc 9525   cmul 9527   clt 9658  cn0 10836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-seq 12152  df-exp 12211 This theorem is referenced by:  nn0opth2i  12395
 Copyright terms: Public domain W3C validator